【2018.9.20】JOI 2017 Final T3「JOIOI 王国 / The Kingdom of JOIOI」

题目链接

题目描述

JOIOI 王国是一个 $H$ 行 $W$ 列的长方形网格,每个 $1\times 1$ 的子网格都是一个正方形的小区块。为了提高管理效率,我们决定把整个国家划分成两个省 $JOI$ 和 $IOI$ 。

我们定义,两个同省的区块互相连接,意为从一个区块出发,不用穿过任何一个不同省的区块,就可以移动到另一个区块。有公共边的区块间可以任意移动。
我们不希望划分得过于复杂,因此划分方案需满足以下条件:

  • 区块不能被分割为两半,一半属 $JOI$ 省,一半属 $IOI$ 省。
  • 每个省必须包含至少一个区块,每个区块也必须属于且只属于其中一个省。
  • 同省的任意两个小区块互相连接。
  • 对于每一行/列,如果我们将这一行/列单独取出,这一行/列里同省的任意两个区块互相连接。这一行/列内的所有区块可以全部属于一个省。

现给出所有区块的海拔,第 $i$ 行第 $j$ 列的区块的海拔为 $A_{i,j}$​​。设 JOI 省内各区块海拔的极差(最大值减去最小值) 为 $R_{JOI}$​​,IOI 省内各区块海拔的极差为 $R_{IOI}$​​。在划分后,省内的交流有望更加活跃。但如果两个区块的海拔差太大,两地间的交通会很不方便。 因此,理想的划分方案是 $\max(R_{JOI}, R_{IOI})$ 尽可能小。
你的任务是求出 $max(R_{JOI}, R_{IOI})$ 至少为多大。

输入格式

第一行,两个整数 $H,W$,用空格分隔。
在接下来的 HHH 行中,第 $i$ 行有 $W$ 个整数 $A_{i,1}, A_{i, 2}, \ldots, A_{i, W}$​​,用空格分隔。
输入的所有数的含义见题目描述。

输出格式

一行,一个整数,表示 $max(R_{JOI}, R_{IOI})$ 可能的最小值。

样例

样例输入 1

4 4
1 12 6 11
11 10 2 14
10 1 9 20
4 17 19 10

样例输出 1

11

样例解释 1

在这组样例中,一种理想方案长这样。下图中,$J$ 表示该区块属于 $JOI$ 省,$I$ 表示该区块属于 $IOI$ 省。

$J$ $J$ $J$ $I$
$J$ $J$ $J$ $I$
$J$ $J$ $I$ $I$
$J$ $I$ $I$ $I$

 

 

 

 

注意下述方案不符合第四条原则,将第三列单独取出时,两个 $I$ 不能互相连接。

$J$ $J$ $I$ $I$
$J$ $J$ $J$ $I$
$J$ $J$ $I$ $I$
$J$ $I$ $I$ $I$

 

 

 

 

样例输入 2

8 6
23 23 10 11 16 21
15 26 19 28 19 20
25 26 28 16 15 11
11 8 19 11 15 24
14 19 15 14 24 11
10 8 11 7 6 14
23 5 19 23 17 17
18 11 21 14 20 16

样例输出 2

18

数据范围与提示

对于 $15\%$ 的数据,$H, W\leqslant 10$。
对于另外 $45\%$ 的数据,$H, W\leqslant 200$。
对于所有数据,$2\leqslant H, W\leqslant 2000, A_{i,j}\leqslant 10^9(1\leqslant i\leqslant H, 1\leqslant j\leqslant W)$。

 

上网搜这JOI的题,一篇题解都没找到,好尬啊,只好回日本 JOI2017 原网站看了半天日语题解日语水平菜头皮发麻

看看$N,M$,乘起来共有400w个数,再看看答案的值域,$[0, 10^9(max-min)]$。

好像可以二分答案并$n^2$判断?

于是我们只需要再知道怎么判断分割是否可行。

其实,题目说的比较含蓄,整个地图划分的两个省其实都类似于旋转三角:

原因是这两条:

  • 同省的任意两个小区块互相连接。
  • 对于每一行/列,如果我们将这一行/列单独取出,这一行/列里同省的任意两个区块互相连接。这一行/列内的所有区块可以全部属于一个省

所以判断就比较方便了。

我们可以先找出海拔的最小值$AllMin$和最大值$AllMax$。

然后二分答案与海拔最小值的差(这样更好,我直接二分答案然后莫名被卡)$x$。

我们就要判断现在能否划分出两个类似于上图的三角,如果能就缩小答案,如果不能就增大答案。

那么让一块的最大值$\leq AllMin+x$,一块的最小值$\geq AllMax-x$,依次判断上述四种情况是否有一种满足即可。

比如让红色省区的最大值$\leq AllMin+x$,以第二张图为例,只需要从第一行开始在每行中遍历。如果遍历到 第一个海拔$\geq$最大值的地方 或者 超过上一行划分的红色省区右端的地方 就停(这一格不划入红色省区),转到下一行即可。否则将该格划入红色省区。

然后每行右边没划的地方自然全给蓝色省区,再判一下蓝色省区的最小值是否$\geq AllMax-x$就行了。

其它情况类似。

时间复杂度$O(H*W*log(AllMax-AllMin))$。

 

 1 #include <cstdio>
 2 #include <algorithm>
 3 using namespace std;
 4 
 5 int H, W, A[2020][2020];
 6 int gmin, gmax;
 7 
 8 bool check(int th)
 9 {
10     int sep = 0;
11     for (int i = 0; i < H; ++i) {
12         for (int j = 0; j < W; ++j) {
13             if (A[i][j] < gmax - th) {
14                 sep = max(sep, j + 1);
15             }
16         }
17         for (int j = 0; j < W; ++j) {
18             if (gmin + th < A[i][j]) {
19                 if (j < sep) return false;
20             }
21         }
22     }
23     return true;
24 }
25 void flip_row()
26 {
27     for (int i = 0; i < H / 2; ++i) {
28         for (int j = 0; j < W; ++j) {
29             swap(A[i][j], A[H - 1 - i][j]);
30         }
31     }
32 }
33 void flip_col()
34 {
35     for (int i = 0; i < H; ++i) {
36         for (int j = 0; j < W / 2; ++j) {
37             swap(A[i][j], A[i][W - 1 - j]);
38         }
39     }
40 }
41 int solve()
42 {
43     int lo = 0, hi = gmax - gmin;
44     while (lo < hi) {
45         int mid = (lo + hi) / 2;
46         if (check(mid)) {
47             hi = mid;
48         } else {
49             lo = mid + 1;
50         }
51     }
52     return lo;
53 }
54 int main()
55 {
56     scanf("%d%d", &H, &W);
57     for (int i = 0; i < H; ++i) {
58         for (int j = 0; j < W; ++j) {
59             scanf("%d", &(A[i][j]));
60         }
61     }
62 
63     gmin = gmax = A[0][0];
64     for (int i = 0; i < H; ++i) {
65         for (int j = 0; j < W; ++j) {
66             gmin = min(gmin, A[i][j]);
67             gmax = max(gmax, A[i][j]);
68         }
69     }
70 
71         //翻转三次,得到四种情况
72     int ret = solve();
73     flip_row();
74     ret = min(ret, solve());
75     flip_col();
76     ret = min(ret, solve());
77     flip_row();
78     ret = min(ret, solve());
79     printf("%d\n", ret);
80     return 0;
81 }
View Code
posted @ 2018-09-21 17:10 大本营 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏