蒙特卡洛

蒙特卡洛

假定需要的条件都满足，则有：

\[E_{p(x)}\left[f(X)\right] \approx \frac{1}{N}\sum f(x_i) \]

1. 以前一直以为这是一种数值计算积分的思路，然后从黎曼和或者Lebesgue的角度去推，都不行，因为：

\[\begin{align} E_{p(x)}\left[f(x)\right] \approx & \int f(x)p(x)dx \\ \approx & \frac{1}{N}\sum f(x_i)p(x_i) \end{align} \]

想象用\(\frac{1}{n}\)的长度去分割某段有限区间，先扔掉两端小于\(\epsilon\)的那部分，肯定是能做到的，但是发现形式很不一样。实际上差别很大。

2. 然后今天忽然想起，其实不要被这些故作高深的概念吓住了，之前自己不也老用蒙特卡洛这个词吗，我是怎么敢用的？我说蒙特卡洛其实是被大叔定律保证的，好像有人同意也有人不同意。但至少我知道：

\[E[X] \leftarrow \frac{1}{N}\sum X_i \]

这不是类似的嘛，两边取期望就证了。这其实依赖于独立重复地抽取，得益于样本点之间的独立性，用统计学的方法来估计积分。

问题

但我一直觉得，统计学的理论虽然有随机性，但是处理手段本质上其实是确定的，有没有可能通过多层嵌套，然后找到其本质上建模的确定性问题呢？