gcd以及exgcd

一、前言

gcd也就是欧几里得算法也称辗转相除法，是一种求解最大公约数的算法

exgcd是扩展欧几里得算法，该算法在gcd的基础上增加了一个求解二元一次不定方程的解

二、

1.GCD

　由于gcd较为简单，这里不加以证明，故给出代码：

　　

#include "bits/stdc++.h"
using namespace std;
int gcd(int a,int b)
{
    if(b == 0)  return a;
    else   return gcd(b,a % b);
}
int main()
{
    int a,b;
    cin >> a >> b;
    cout << gcd(a,b) << endl;
    return 0;
}

2.EXGCD（扩展欧几里得定理）

给出如下证明：

　　　 //前提是要保证a和b互质的情况下才可以使用哦

　　　 //求解一个不定方程的解ax + by = gcd(a,b)这个方程会有多个解

            //当b为0时，有一组特殊的解x=1,b=0;

 

            //当b>0时，我们可以找到一组特殊的解可以表示整个不定方程的解

 

            //若a,b为正整数，则我们一定能找到一组解是的ax + by = gcd(a,b)

 

            //列如gcd(6,10) = 2,6 * （2） + 10 * （-1） = 2

 

            //设ax + by = gcd(a,b)

 

            //又因为gcd(a,b) = gcd(b,a%b)

 

            //所以ax + by = by + a%b*x

 

            //又因为a % b = a - a / b * b 证明：令a=ib+c 则 a % b = c  i * b + c - i * b

 

            //所以a%b == a - a / b * b

 

            //接上证明exgcd ax + by = by + (a - a/b * b) *x

 

            // ax + by = by + ax -a/b*b*x

 

            // ax + by = ax + b(y - a/b*x)

 

            // 可以看出x等于上一次的x0,y = (y0 - a / b * x0)

 

            // 所以我们可以在求出最大公约数的同时求出一个解

 

代码实现：

#include "bits/stdc++.h"
using namespace std;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b == 0){
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    else{
        int d = exgcd(b,a % b,y,x);//这个一定要在上面，因为首先要先求到最特殊解，然后一层层往上求解一个正解
        y = y - a/b * x;//对应证明公式部分,等于上一次的y经过这些运算会得到一个新y值
        return d;
    }
    
}
int main()
{
    int a,b;
    int x,y;
    cin >> a >> b;
    int d = exgcd(a,b,x,y);
    cout << x << ',' << y << ',' << d << endl;
    return 0;
}

三、总结

这两天学会了一些基本的数论方法，特别是学会了证明，感觉还是不错的！