「日常训练」 神、上帝以及老天爷 （HDU 2048）

题意

数论中的错排问题。记错排为Dn$D_n$，求Dnn!$\frac{D_n}{n!}$。

分析

显然D1=0,D2=1$D_1=0,D_2=1$。当n≥3$n\ge 3$时，不妨设n排在了第k位，其中k≠n$k\ne n$，也就是1≤k≤n−1$1\le k\le n-1$。那么我们现在考虑k的情况。

• 当k排在第n位时，n放k、k放n确定，因而除了n和k以外还有n-2个数，其错排数为Dn−2$D_{n-2}$。
• 当k不排在第n位时，由于n在第k位，那么将第n位重新考虑成一个新的“第k位”，那么注意到“n在k”是确定的。剩下的排布方式同原来一致，只是k等价于n，因此：其错排数为Dn−1$D_{n-1}$。
  我们认真思考一下这个“重新考虑”是什么意思。 n在k，这是一个固定的条件，故这里不作考虑；而其他的元素必定不在各自的位置，k也是：它必定不在n！因而，这里相当于n−1$n-1$个元素的错排问题。

综上，当n$n$排在第k$k$位时共有Dn−2+Dn−1$D_{n-2}+D_{n-1}$种错排方法，又k$k$有从1$1$到n−1$n-1$共n−1$n-1$种取法，我们可以得到：Dn=(n−1)(Dn−1+Dn−2)$D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})$

更多其他方法另请参见一位不愿具名的同学的题解。

代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <iomanip>
#include <cstdlib>

#define inf 0x3f3f3f3f
#define PB push_back
#define MP make_pair
#define fi first
#define se second
#define lowbit(x) (x & (-x))
#define rep(i, a, b) for (int i = (a); i <= (b); i++)
#define per(i, a, b) for (int i = (a); i >= (b); i--)
#define pr(x) cout << #x << " = " << x << " ";
#define prl(x) cout << #x << " = " << x << endl;
#define ZERO(X) memset((X), 0, sizeof(X))
#define ALL(X) (X).begin(), (X).end()
#define SZ(x) (int)x.size()

using namespace std;

typedef pair<int, int> PI;
typedef pair<pair<int, int>, int> PII;
typedef pair<pair<pair<int, int>, int>, int> PIII;
using ull = unsigned long long;
using ll = long long;
using ld = long double;
#define quickio                  \
    ios::sync_with_stdio(false); \
    cin.tie(0);                  \
    cout.tie(0)
#define debug(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__), fflush(stderr)
/*      debug("Precalc: %.3f\n", (double)(clock()) / CLOCKS_PER_SEC);
clock_t z = clock();
        solve();
        //debug("Test: %.3f\n", (double)(clock() - z) / CLOCKS_PER_SEC);
*/
template <typename T = int>
inline T read()
{
    T val = 0, sign = 1;
    char ch;
    for (ch = getchar(); ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar())
        if (ch == '-')
            sign = -1;
    for (; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar())
        val = val * 10 + ch - '0';
    return sign * val;
}
int main()
{
    ll arr[25];
    arr[1] = 0;
    arr[2] = 1;
    ll jc[25];
    jc[1] = 1;
    jc[2] = 2;
    for (int i = 3; i <= 20; ++i)
    {
        arr[i] = (i - 1) * (arr[i - 1] + arr[i - 2]);
        jc[i] = jc[i - 1] * i;
    }

    int T;
    cin >> T;
    while (T--)
    {
        int n;
        cin >> n;
        cout << fixed << setprecision(2)
             << double(arr[n]) * 100.0 / jc[n]  << "%" << endl;
    }
    return 0;
}

修改于20180524，进一步方便自己回顾对错排问题的理解。