luogu P3200 [HNOI2009]有趣的数列|Catalan数|数论
luogu P3200 [HNOI2009]有趣的数列|Catalan数|数论
Problem
分析
分析题目可得：
答案取模前就是Catalan数：
\[ans(取模前)=\frac{C_{n}^{2n}}{\left(n+1\right)}=\frac{2n!}{n!(n+1)!}
\]
根据n的范围：[0,1e6]可知超long long
所以题目给出p来膜
众所周知，带有除法的式子是不能直接每一步进行求余的
这时候可能会想到逆元。
众所周知，逆元中膜的数是质数
所以逆元也不行。
众所周知，ans(取模前)一定是整数，观察ans表达式：
如果对2n!进行整数唯一分解，即：
\[2n!=a_1^{b_1}\cdot a_2^{b_2}\cdot a_3^{b_3}\cdot...\cdot a_i^{b_i}
\]
同理对n!和(n+1)!进行整数唯一分解，
如果2n!和n!与(n+1)!有相同分解ai,则2n!中次数一定大于n!和(n+1)!的次数(因为ans是整数)
所以ans可以进一步化解：
\[ans=a_1^{b_1-b_1'-b_1''}\cdot a_2^{b_2-b_2'-b_2''}\cdot a_3^{b_3-b_3'-b_3''}\cdot a_i^{b_i-b_i'-b_i''}
\]
于是问题变成对阶乘进行整数唯一分解
对阶乘n!进行整数唯一分解的方法：
\[\exists 质数m_i\in[2,n!],cnt[m_i]=n/m_i+n/m_i^2+n/m_i^3+...+n/m_i^k,m^k\leqslant n
\]
综上所述，程序分为三个部分：
1、欧拉筛求质数
2、快速幂
3、进行catalan计算
Code
1、欧拉筛求质数
void Euler(ll n){
memset(isprime,1,sizeof(isprime));
isprime[0]=isprime[1]=0;
for(ll i=2;i<=n;i++){
if(isprime[i]) m[++cnt]=i;
for(ll j=1;i*m[j]<=n;j++){
isprime[i*m[j]]=0;
if(i%m[j]==0) break;
}
}
}
2、快速幂
ll qpow(ll a,ll b){
ll ans=1,base=a;
while(b){
if(b&1) ans=ans*base%p;
base=base*base%p;
b>>=1;
}
return ans%p;
}
3、求Catalan数
ll catalan(ll n){
ll ans=1;
for(ll i=1;i<=cnt&&m[i]<=2*n;i++){
ll cnt1=0,cnt2=0,cnt3=0;
ll pm=m[i];
while(pm<=2*n){
cnt1+=2*n/pm,cnt2+=n/pm,cnt3+=(n+1)/pm;
pm*=m[i];
}
ans=ans*qpow(m[i],cnt1-cnt2-cnt3)%p;
}
return ans;
}
代码：
/*
C2n-n/(n+1)
=2n!/n!(n+1)
*/
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=2e6+5;
ll n,p;
ll isprime[maxn],m[maxn],cnt=0;
ll qpow(ll a,ll b){
ll ans=1,base=a;
while(b){
if(b&1) ans=ans*base%p;
base=base*base%p;
b>>=1;
}
return ans%p;
}
void Euler(ll n){
memset(isprime,1,sizeof(isprime));
isprime[0]=isprime[1]=0;
for(ll i=2;i<=n;i++){
if(isprime[i]) m[++cnt]=i;
for(ll j=1;i*m[j]<=n;j++){
isprime[i*m[j]]=0;
if(i%m[j]==0) break;
}
}
}
ll catalan(ll n){
ll ans=1;
for(ll i=1;i<=cnt&&m[i]<=2*n;i++){
ll cnt1=0,cnt2=0,cnt3=0;
ll pm=m[i];
while(pm<=2*n){
cnt1+=2*n/pm,cnt2+=n/pm,cnt3+=(n+1)/pm;
pm*=m[i];
}
ans=ans*qpow(m[i],cnt1-cnt2-cnt3)%p;
}
return ans;
}
int main(){
scanf("%lld%lld",&n,&p);
Euler(2*n);
printf("%lld",catalan(n));
return 0;
}
