[Bzoj1597][Usaco2008 Mar]土地购买(斜率优化)

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因为题目说可以分组,并且是求最值,所以斜率优化应该是可以搞的,现在要想怎么排序使得相邻的数在一个组中最优。

我们按照宽$w$从小到大,高$h$从小到大排序。这时发现可以筛掉一些一定没有贡献的土地,什么样的土地没有贡献呢?这样的:$h[i]<=h[j]\& \&w[i]<=w[j]$,此时i没有贡献。

所以排序并筛掉无用的土地后,剩余的土地是按照$w[i]<  w[j]< w[k]\& \&h[i]> h[j]>h[k]$ $(i<j<k)$

这时候我们的最优分组一定是选择连续的土地为一组。因为如果i和k一组,j一组,则此时的花费是$h[i]*w[k]+h[j]*w[j]$

而选择$i,j,k$一组,则花费为$h[i]*w[k]$

所以此时有$O(n^{2})$的$dp$:

$dp[i]$为前$i$块土地的最少花费,$dp[i]=max(dp[i],dp[j]+h[j+1]*w[i])$。

但是复杂度不允许QAQ

所以推式子:

设$k<j<i$,且i从j转移比从k转移更优。

$dp[j]+h[j+1]*w[i]\leq dp[k]+h[k+1]*w[i]$

$dp[j]-dp[k]\leq (h[k+1]-h[j+1])*w[i]$

$\tfrac{dp[j]-dp[k]}{h[k+1]-h[j+1]}\leq w[i]$

$\tfrac{dp[j]-dp[k]}{h[j+1]-h[k+1]}\geq- w[i]$

将$(h[j+1],dp[j]),(h[k+1],dp[k])$看成二维平面的点,因为$k<j\& \&h[k+1]>h[j+1]$,所以点集应该是从左往右。

维护一个单调队列,如果当前点为$i$,队首为$L$,则如果$L$没有$L+1$到$i$更优,则队首出队。当前最优点为队首。同时还要维护队尾。

 PS:因为以前吃过精度的坑,所以写斜率优化基本是移相相乘。

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 typedef long long ll;
 4 const int maxn = 5e4 + 100;
 5 struct node {
 6     ll w, h;
 7 }a[maxn], b[maxn];
 8 bool cmp(node x, node y) {
 9     return x.w == y.w ? x.h < y.h : x.w < y.w;
10 }
11 ll dp[maxn]; int q[maxn];
12 ll check1(int j, int k) {
13     return dp[j] - dp[k];
14 }
15 ll check2(int j, int k) {
16     return b[j + 1].h - b[k + 1].h;
17 }
18 int main() {
19     int n, cnt = 0;
20     scanf("%d", &n);
21     for (int i = 1; i <= n; i++)
22         scanf("%lld%lld", &a[i].w, &a[i].h);
23     sort(a + 1, a + 1 + n, cmp);
24     for (int i = 1; i <= n; i++) {
25         while (cnt != 0 && b[cnt].h <= a[i].h)
26             cnt--;
27         b[++cnt] = a[i];
28     }
29     int l = 0, r = 0;
30     for (int i = 1; i <= cnt; i++) {
31         while (l < r && check1(q[l], q[l + 1]) >= -b[i].w * check2(q[l], q[l + 1]))
32             l++;
33         dp[i] = dp[q[l]] + b[q[l] + 1].h * b[i].w;
34         while (l < r && check1(q[r - 1], q[r]) * check2(q[r], i) <= check1(q[r], i) * check2(q[r - 1], q[r]))
35             r--;
36         q[++r] = i;
37     }
38     printf("%lld\n", dp[cnt]);
39 }

 

posted @ 2019-09-21 17:58  祈梦生  阅读(142)  评论(0编辑  收藏  举报