【HDU4747】【JZOJ4680】自然数

###Description
给n个数，$mex(i,j)$表示区间$[i,j]$最小没有出现的自然数。

求：
$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=i}^{n}mex(i,j)$$

###Solution

首先我们$O(n)$求出$mex(1,i)$。

我们现在先考虑从$mex(1,i)$推到$mex(2,i)$，其实就是删掉第一个元素。

很显然：$mex(i,i),mex(i,i+1)\cdots mex(i,n)$是单调递增的。

我们有一串序列$a_1,a_2,\cdots ,a_x,\cdots ,a_n$。

这里我们假设$a_1=a_x$，那么如果删掉了$a_1$，那么做出的影响是：所有$1$到$x$之间的元素，如果$mex$值大于$a_1$，那么$mex$值要变为$a_1$。同时，由于这个$mex$是单调递增的，我们可以用线段树维护，在线段树上二分。

根据上面的例子，我们就可以从$mex(j,i)(j<i)$推到$mex(j+1,i)$。

于是线段树区间修改查询即可。

###Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#define fo(i,j,k) for(int i=j;i<=k;i++)
#define fd(i,j,k) for(int i=j;i>=k;i--)
#define N 200001
#define ll long long
using namespace std;
int a[N];
int mex[N];
int nx[N];
int cx[N];
bool bz[N];
struct node{
	int mx;
	ll h;
	int lz;
}tr[N*4];
int rt;
int n;
void build(int v,int l,int r)
{
	if(l==r)
	{
		tr[v].h=tr[v].mx=mex[l];
		tr[v].lz=-1;
		if(l==n) rt=v;
		return;
	}
	int mid=(l+r)/2;
	build(v*2,l,mid);
	build(v*2+1,mid+1,r);
	tr[v].h=tr[v*2].h+tr[v*2+1].h;
	tr[v].mx=max(tr[v*2].mx,tr[v*2+1].mx);
	tr[v].lz=-1;
}
void put(int v,int l,int r)
{
	int mid=(l+r)/2;
	int p=tr[v].lz;
	if(p==-1) return;
	tr[v*2].h=p*1ll*(mid-l+1);
	tr[v*2+1].h=p*1ll*(r-mid);
	tr[v*2].mx=tr[v*2+1].mx=p;
	tr[v*2].lz=tr[v*2+1].lz=p;
	tr[v].lz=-1;
}
void change(int v,int l,int r,int x,int y,int t)
{
	if(l==x && r==y)
	{
		tr[v].lz=t;
		tr[v].h=t*1ll*(r-l+1);
		tr[v].mx=t;
		return;
	}
	put(v,l,r);
	int mid=(l+r)/2;
	if(y<=mid) change(v*2,l,mid,x,y,t);
	else if(x>mid) change(v*2+1,mid+1,r,x,y,t);
	else
	{
		change(v*2,l,mid,x,mid,t);
		change(v*2+1,mid+1,r,mid+1,y,t);
	}
	tr[v].h=tr[v*2].h+tr[v*2+1].h;
	tr[v].mx=max(tr[v*2].mx,tr[v*2+1].mx);
}
int findpos(int v,int l,int r,int t)
{
	if(l==r) return l;
	put(v,l,r);
	int mid=(l+r)/2;
	if(tr[v*2].mx<t) return findpos(v*2+1,mid+1,r,t);
	else return findpos(v*2,l,mid,t);
}
ll find(int v,int l,int r,int x,int y)
{
	if(l==x && r==y) return tr[v].h;
	put(v,l,r);
	int mid=(l+r)/2;
	if(y<=mid) return find(v*2,l,mid,x,y);
	else if(x>mid) return find(v*2+1,mid+1,r,x,y);
	else return find(v*2,l,mid,x,mid)+find(v*2+1,mid+1,r,mid+1,y);
}
int main()
{
	cin>>n;
	fo(i,1,n)
	{
		scanf("%d",&a[i]);
		if(a[i]>n) a[i]=n;
		if(cx[a[i]]) nx[cx[a[i]]]=i;
		cx[a[i]]=i;
	}
	int p=0;
	fo(i,1,n)
	{
		bz[a[i]]=true;
		while(bz[p]) p++;
		mex[i]=p;
	}
	build(1,1,n);
	ll ans=0;
	ans+=tr[1].h;
	fo(i,1,n-1)
	{
		if(!nx[i]) nx[i]=n+1;
		int pos=findpos(1,1,n,a[i]);
		if(pos<=nx[i]-1 && tr[rt].mx>a[i]) change(1,1,n,pos,nx[i]-1,a[i]);
		ans+=find(1,1,n,i+1,n);
	}
	cout<<ans;
}