浅谈平面几何

最近做题的时候由于平面几何的问题被搞得痛不欲生，于是决定来研究一下平面几何那些事儿，反正高中迟早都得学。

向量

基本概念

定义：既有大小又有方向的量称为向量，记作 \(\overrightarrow{\textbf a}\)。

有向线段：有方向的线段，有起点、方向、长度三要素，用于表示向量。

模：有向线段 \(\overrightarrow{AB}\) 的长度，记为 \(\Big|\overrightarrow{AB}\Big|\)。

零向量：模为 \(0\) 的向量，记为 \(\vec0\) 或 \(0\)。

单位向量：模为 \(1\) 的向量记为该方向上的单位向量。

平行向量：又称共线向量，方向相同或相反的向量，记为 \(\mathbf a\parallel\mathbf b\)。

相等向量：模相等且方向相同的向量。

相反向量：模相等且方向相反的向量。

向量的夹角：已知两个非零向量 \(\mathbf a\)，\(\textbf b\)，作 \(\overrightarrow{OA}=\textbf a\)、\(\overrightarrow{OB}=\textbf b\)，则 \(\theta=\angle AOB\) 就是 \(\textbf a\) 与 \(\textbf b\) 的夹角，记作 \(\left\langle \textbf a,\textbf b\right\rangle\)。规定 \(\theta\in[0,\pi]\)。特别的，当 \(\theta=\dfrac{\pi}{2}\) 时，这两个向量垂直，记作 \(\textbf a\perp \textbf b\)。

线性运算

加法

• 三角形法则：若向量的头尾顺次相连，则它们的和为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点，即 \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)。
• 平行四边形法则：若两个向量共起点，则它们的和为以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线，起点为共起点，方向沿对角线方向。

向量加法满足交换律与结合律。

减法

共起点向量的差向量为减向量的终点指向被减向量的终点，即 \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}\)。

数乘

实数 \(\lambda\) 与向量 \(\textbf a\) 的积为一个向量 \(\lambda\textbf a\)。

1. \(|\lambda \textbf a|=|\lambda||\textbf a|\)；
2. 当 \(\lambda>0\) 时，\(\lambda\textbf a\) 与 \(\textbf a\) 同向；当 \(\lambda=0\) 时，\(\lambda\textbf a=0\)；当 \(\lambda<0\) 时，\(\lambda\textbf a\) 与 \(\textbf a\) 方向相反。

满足结合律、分配律。

当存在唯一实数 \(\lambda\) 使得 \(\lambda\textbf a=\textbf b\ (\textbf a,\textbf b\not=0)\) 时，\(\textbf a\)、\(\textbf b\) 共线。

平面向量

平面向量基本定理：若两向量 \(\textbf a\)、\(\textbf b\) 不共线，则存在唯一实数对，使得与 \(\textbf a\)、\(\textbf b\) 共面的任意向量 \(\textbf p\) 满足 \(\textbf p=x\textbf a+y\textbf b\)。

基底：在同一平面内不共线的两个向量。

坐标表示

若取与 \(x\)、\(y\) 轴方向相同的单位向量 \(i\)、\(j\) 作为基底，则根据平面向量基本定理，平面上的每一个向量都唯一对应一个有序实数对 \((x,y)\)，而有序实数对 \((x,y)\) 与平面直角坐标系上的点一一对应，那么我们作 \(\overrightarrow{OP}=\textbf p\)，那么终点 \(P(x,y)\) 也是唯一对应的。由于我们研究的都是自由向量，可以自由平移起点，这样，在平面直角坐标系里，每一个向量都可以用有序实数对唯一表示。

平面向量的坐标运算

设有两个向量 \(\textbf x=(\alpha,\beta)\)、\(\textbf y=(\gamma,\delta)\)，则：

• \(\textbf x+\mathbf y=(\alpha+\gamma,\beta+\delta)\)
• \(\textbf x-\textbf y=(\alpha-\gamma,\beta-\delta)\)
• \(\lambda\textbf x=(\lambda\alpha,\lambda\beta)\)

已知两点 \(A(\alpha,\beta)\)、\(B(\gamma,\delta)\)，则 \(\overrightarrow{AB}=(\gamma-\alpha,\delta-\beta)\)。

若 \(A\)、\(B\)、\(C\) 三点共线，则 \(\overrightarrow{OB}=\lambda\overrightarrow{OA}+(1-\lambda)\overrightarrow{OC}\)。

向量的叉积

又称向量积、外积、矢积。已知两向量 \(\textbf x\)，\(\textbf y\) 及它们的夹角 \(\theta\)，它们的叉积为 \(\textbf z=\textbf x\times\textbf y\)，则

\[|\textbf z|=|\textbf x||\textbf y|\sin\theta \]

\(\textbf z\) 的方向垂直于 \(\textbf x\) 与 \(\textbf y\) 所决定的平面，并遵循右手定则。\(\textbf z\) 是一个伪向量，因为在不同的坐标系中 \(\textbf z\) 可能不同，不过一般在计算时不用管它的方向，只需要计算它的模。\(|\textbf z|\) 相当于以 \(\textbf a\)、\(\textbf b\) 为邻边的平行四边形的面积。

在平面向量的计算中，若 \(\textbf x=(\alpha,\beta)\)，\(\textbf y=(\gamma,\delta)\)，则

\[|\textbf x\times\textbf y|=\alpha\delta-\beta\gamma \]

向量的点积

又称数量积、内积、标积。已知两向量 \(\textbf x\)，\(\textbf y\) 及它们的夹角 \(\theta\)，则

\[\textbf x\cdot\textbf y=|\textbf x||\textbf y|\cos\theta \]

其中 \(|\textbf x|\cos\theta\) 为 \(\textbf x\) 在 \(\textbf y\) 方向上的投影。点积所得到的结果是一个实数。

在平面向量的运算中，若 \(\textbf x=(\alpha,\beta)\)，\(\textbf y=(\gamma,\delta)\)，则

\[\textbf x\cdot\textbf y=\alpha\gamma+\beta\delta \]

点积的应用如下：

• \(\textbf x\perp\textbf y\iff\textbf x\cdot\textbf y=0\)，即 \(\cos\theta=0\)；
• \(\textbf x\parallel\textbf y\iff\textbf x\cdot\textbf y=|\textbf x||\textbf y|\)，即 \(\cos\theta=1\)；
• \(\cos\theta=\dfrac{\textbf x\cdot\textbf y}{|\textbf x||\textbf y|}\)

顺便提一嘴，若 \(\textbf x=(\alpha,\beta)\)，则

\[|\textbf x|=\sqrt{\alpha^2+\beta^2} \]

向量的旋转

设 \(\textbf a=(x,y)\)，倾角为 \(\theta\)，长度为 \(l=\sqrt{x^2+y^2}\)。则 \(x=l\cos\theta\)，\(y=\cos\theta\)。令其逆时针旋转 \(\alpha\) 度角，得向量

\[\begin{aligned}\textbf b&=(l\cos(\theta+\alpha),l\sin(\theta+\alpha))\\&=(l(\cos\theta\cos\alpha-\sin\theta\sin\alpha),l(\sin\theta\cos\alpha+\cos\theta\sin\alpha))\\&=(l\cos\theta\cos\alpha-l\sin\theta\sin\alpha,l\sin\theta\cos\alpha+l\cos\theta\sin\alpha)\\&=(x\cos\alpha-y\sin\alpha,y\cos\alpha+x\sin\alpha)\end{aligned} \]

代码实现

提了那么多，还是上代码吧。

尽管叉积所得的是一个向量，但在代码中只返回了它的模。

inline int sgn(double x)
{
	if(fabs(x)<eps) return 0;
	if(x<0) return -1;
	return 1;
}
struct point
{
	double x,y;
	point(){}
	point(double _x,double _y):x(_x),y(_y){}
	bool operator==(point b)const{return sgn(x-b.x)==0&&sgn(y-b.y)==0;}
	point operator+(const point& b)const{return point(x+b.x,y+b.y);}//加法
	point operator-(const point& b)const{return point(x-b.x,y-b.y);}//减法
	double operator^(const point& b)const{return x*b.y-y*b.x;}//叉积
	double operator*(const point& b)const{return x*b.x+y*b.y;}//点积
	double len(){return hypot(x,y);}//模
	double len2(){return x*x+y*y;}//模的平方
	point operator*(const double& k)const{return point(x*k,y*k);}//数乘
	point operator/(const double& k)const{return point(x/k,y/k);}//数除
	point rorate(double alpha){return point(x*cos(alpha)-y*sin(alpha),y*cos(alpha)+x*sin(alpha));}
};

前方准备

正弦定理

在 \(\triangle\text{ABC}\) 中，若角 \(A\)、\(B\)、\(C\) 所对边分别为 \(a\)、\(b\)、\(c\)，其外接圆半径为 \(R\)，则

\[\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R \]

余弦定理

在 \(\triangle\text{ABC}\) 中，若角 \(A\)、\(B\)、\(C\) 所对边分别为 \(a\)、\(b\)、\(c\)，则

\[\begin{cases}a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\\b^2=a^2+c^2-2ac\cos B\\c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\end{cases} \]

交点

两直线交点

至少在我的世界里 （不是mc！），直线只有一种表示方法：

\[f(x)=kx+b \]

设有两直线 \(f_1(x)=k_1x+b_1\)、\(f_2(x)=k_2x+b_2\)，则它们的交点为 \(\bigg(\dfrac{b_2-b_1}{k_1-k_2},\dfrac{k_1b_2-k_2b_1}{k_1-k_2}\bigg)\)。

判断两线段是否有交点

首先我们要判断一些特殊情况，如平行（也就是 \(k\) 相等）或重合（\(k\)、\(b\) 相等且一线段的端点在另一线段内）。

规定线段区域为以该线段为对角线，四边均平行与坐标轴的矩形。若这两条线段没有公共区域，则它们一定不相交。这叫做 快速排斥实验。我们可以初步排除一些情况。

通过快速排斥试验后，我们只需要判断一条线段的两个端点是否在另一条线段的两侧，若是，则它们有交点。这叫做 跨立实验。

多边形面积

线性平面上的多边形面积

将多边形上的点逆时针标记为 \(P_{1\dots n}\)，再作一辅助点 \(O\)，记向量 \(\mathbf v_i=p_i-O\)，则该多边形的面积为

\[S=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n\Big|\mathbf v_i\times\mathbf v_{i\bmod n+1}\Big| \]

平面直角坐标系上的多边形面积

将多边形上的点逆时针标记为 \(P_1(x_1,y_1)\)、\(P_2(x_2,y_2)\)、\(P_3(x_3,y_3)\)……\(P_n(x_n,y_n)\)，则该多边形的面积为

\[S=\frac{1}{2}|\sum_{i=1}^n(x_iy_{i\bmod n+1}-x_{i\bmod n+1}y_i)| \]

皮克定理

如果该多边形是在一个网格图上，且所有的顶点都在格点上，那么令多边形内部格点数目为 \(a\)，边上的格点数目为 \(b\)，则其面积为

\[S=a+\frac b2-1 \]

判断一点是否在多边形内

从该点引出一条射线（不与任何边共线），若与多边形有奇数个交点，则其在多边形内，否则在多边形外。这称之为 奇内偶外，因为每次与多边形相交，就改变了其与多边形的内外关系。

极坐标系

极点：在平面上选定的一点 \(O\)。

极轴：自极点引出的一条射线 \(Ox\)。

正方向：在极坐标系中一般为逆时针方向。

极坐标：设 \(A\) 为平面上一点，则 \(|OA|\) 称为 极径，记为 \(\rho\)；以极轴为始边，\(OA\) 为终边的角 \(\angle xOA\) 称为 极角，记为 \(\theta\)，则 \(A\) 该平面上的坐标为有序数对 \((\rho,\theta)\)。一般规定 \(\rho>0\)，\(0\leqslant\theta<2\pi\)。

极坐标与直角坐标的转换

假设极点为原点，极轴为 \(x\) 轴的正半轴，点 \(A\) 的极坐标为 \((\rho,\theta)\)，直角坐标为 \((x,y)\)，则

\[\begin{cases}x=\rho\cos\theta\\y=\rho\sin\theta\\\rho=\sqrt{x^2+y^2}\\\theta=\arctan\dfrac{y}{x}\ \ \ (x\not=0)\end{cases} \]

距离

欧几里得距离

在平面直角坐标系中有两点 \(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\)，则该两点之间的欧几里得距离为

\[|AB|=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} \]

扩展到 \(n\) 维空间中，假设有两点 \(\vec A(x_{1\dots n})\)、\(\vec B(y_{1\dots n})\)，则它们之间的欧几里得距离为

\[\lVert\overrightarrow{AB}\rVert=\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2} \]

曼哈顿距离

在平面直角坐标系中有两点 \(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\)，则该两点之间的曼哈顿距离为

\[m(A,B)=|x_1-x_2|+|y_1-y_2| \]

这就好比曼哈顿网格状的街道上，你想从 \(A\) 点到 \(B\) 点，只能沿着道路直来直往，所能达到的最短距离。

扩展到 \(n\) 维空间中，假设有两点 \(\vec A(x_{1\dots n})\)、\(\vec B(y_{1\dots n})\)，则它们之间的曼哈顿距离为

\[m(A,B)=\sum_{i=1}^n|x_i-y_i| \]

切比雪夫距离

在平面直角坐标系中有两点 \(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\)，则该两点之间的切比雪夫距离为

\[c(A,B)=\max(|x_1-x_2|,|y_1-y_2|) \]

扩展到 \(n\) 维空间中，假设有两点 \(\vec A(x_{1\dots n})\)、\(\vec B(y_{1\dots n})\)，则它们之间的切比雪夫距离为

\[c(A,B)=\max\{|x_i-y_i|\}\ \ \ (i\in[1,n]) \]

曼哈顿距离与切比雪夫距离之间的转换

将一个点 \((x,y)\) 的坐标变为 \((x+y,x-y)\) 后，原坐标系中的曼哈顿距离变成了新坐标系中的切比雪夫距离。

将一个点 \((x,y)\) 的坐标变为 \(\bigg(\dfrac{x+y}{2},\dfrac{x-y}{2}\bigg)\) 后，原坐标系中的切比雪夫距离变成了新坐标系中的曼哈顿距离。

凸包

凸多边形：所有内角都在 \([0,\pi]\) 范围内的简单多边形。

简单点说，凸包就是用一个绳子把简单多边形围起来，然后勒紧所得的图形。凸包满足在围住多边形所有点的情况下周长最小。

凸包的求法：

• 将所有点按横坐标为第一关键字，纵坐标为第二关键字进行排序。

• 排序后最小和最大的点必定都在凸包上，因此我们用这两个点将凸包分为上凸壳和下凸壳。

• 可以发现，如果我们从一个点逆时针出发，那么凸包边必然是全程左拐，如果右拐，就说明刚刚我们走的一段不在凸包上，需要退回去。这可以用一个单调栈维护。

• 枚举时，我们先升序枚举求出下凸壳，再降序枚举求出上凸壳。

• 令当前栈顶为 \(S_1\)，次栈顶为 \(S_2\)，枚举到的点为 \(P\)，如果需要右转才能到 \(P\)（即 \(\overrightarrow{S_2S_1}\times\overrightarrow{S_1P}<0\)），则弹出栈顶，回到上一步，直到可以左转或是栈只剩一个元素。

• 设凸包上的 \(m\) 个点分别为 \(P_{1\dots m}\)，则整个凸包的周长为

  \[\sum_{i=1}^n\Big|\overrightarrow{P_{i}P_{i\bmod m+1}}\Big| \]

扫描线（待填坑）

半平面交（待填坑）