# [学习笔记] 行列式与矩阵树定理

## 行列式

### 定义

$$n$$ 阶方阵 $A$ 的行列式为 $$\det(A)$$, 则:

$\det(A)=\sum_{p\in P} ( -1)^{\delta(p)} \prod_{k=1}^nA_{k,p_k}$

### 性质

1. $$|A|=|A^T|$$. (定义式并没有行和列的区别)

2. $$|AB|=|A|\times|B|$$. (从本质理解. 矩阵乘法相当于连续应用两个线性变换, 体积变化应该相乘.)

3. 行列式某一行/列都乘 $$k$$, 行列式值变为原来 $$k$$ 倍. (定义中的和式的每一项都恰好包含某一行中的一项, 于是刚好每一项都多了个 $$k$$.)

$D={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\\vdots &\vdots &\dots &\vdots \\{\color {blue}k}a_{i1}&{\color {blue}k}a_{i2}&\dots &{\color {blue}k}a_{in}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{vmatrix}}={\color {blue}k}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\\vdots &\vdots &\dots &\vdots \\a_{i1}&a_{i2}&\dots &a_{in}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{vmatrix}}={\color {blue}k}D_{1}$

4. 行列式某两行/列线性相关, 则行列式值为 $$0$$. (从行列式的本质理解. 非满秩的矩阵会降维, 于是体积就被压没了.)

${\begin{vmatrix}{\color {blue}2}&{\color {blue}2}&\dots &{\color {blue}2}\\{\color {blue}8}&{\color {blue}8}&\dots &{\color {blue}8}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{vmatrix}}=0$

5. 交换行列式某两行/列, 行列式值变号. (定义式中的符号和逆序对有关.)

${\begin{vmatrix}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\{\color {blue}{a_{i1}}}&{\color {blue}{a_{i2}}}&\dots &{\color {blue}{a_{in}}}\\{\color {green}{a_{j1}}}&{\color {green}{a_{j2}}}&\dots &{\color {green}{a_{jn}}}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\end{vmatrix}}=-{\begin{vmatrix}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\{\color {green}{a_{j1}}}&{\color {green}{a_{j2}}}&\dots &{\color {green}{a_{jn}}}\\{\color {blue}{a_{i1}}}&{\color {blue}{a_{i2}}}&\dots &{\color {blue}{a_{in}}}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\end{vmatrix}}$

6. 在行列式中, 某一行/列的每个元素是两数之和, 则此行列式可拆分为两个相加的行列式. (拆定义式, 把被更改的那一行中加起来的两个数拆开分配到两个和式中.)

${\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\\vdots &\vdots &\dots &\vdots \\{\color {blue}{a_{i1}}}+{\color {green}{b_{i1}}}&{\color {blue}{a_{i2}}}+{\color {green}{b_{i2}}}&\dots &{\color {blue}{a_{in}}}+{\color {green}{b_{in}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\\vdots &\vdots &\dots &\vdots \\{\color {blue}{a_{i1}}}&{\color {blue}{a_{i2}}}&\dots &{\color {blue}{a_{in}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\\vdots &\vdots &\dots &\vdots \\{\color {green}{b_{i1}}}&{\color {green}{b_{i2}}}&\dots &{\color {green}{b_{in}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{vmatrix}}$

7. 结合性质 4/6 的推论: 某一行/列对位加上另一行/列的 $$k$$ 倍, 行列式值不变. (先用性质 6 拆成两个行列式, 然后第二个行列式显然不满秩所以值为 0.)

${\begin{vmatrix}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{i1}&a_{i2}&\dots &a_{in}\\a_{j1}&a_{j2}&\dots &a_{jn}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{i1}&a_{i2}&\dots &a_{in}\\a_{j1}{\color {blue}{+ka_{i1}}}&a_{j2}{\color {blue}{+ka_{i2}}}&\dots &a_{jn}{\color {blue}{+ka_{in}}}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\end{vmatrix}}$

8. 上下三角矩阵/对角矩阵的行列式为对角线上元素之积. (显然除了对角线上的情况其他的排列 $$p$$ 都会造成 $$A_{i,p_i}$$ 命中至少一个0.)

${\begin{vmatrix}{\color {blue}{a_{11}}}&0&\dots &0\\0&{\color {blue}{a_{22}}}&\dots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &\color {blue}{a_{nn}}\end{vmatrix}}=\prod_{k=1}^n\color {blue}{a_{kk}}$

## 矩阵树定理

FAQ: 为啥搜索 Kirchhoff 只能找到一个物理学家?

A: 没错这个定理就是物理学家 Gustav R. Kirchhhoff 研究电路的时候顺手证的.

### 内容

posted @ 2019-03-04 17:01  rvalue  阅读(718)  评论(0编辑  收藏  举报