[BZOJ 3771] Triple

3771. Triple

Description

我们讲一个悲伤的故事。
从前有一个贫穷的樵夫在河边砍柴。
这时候河里出现了一个水神,夺过了他的斧头,说:
“这把斧头,是不是你的?”
樵夫一看:“是啊是啊!”
水神把斧头扔在一边,又拿起一个东西问:
“这把斧头,是不是你的?”
樵夫看不清楚,但又怕真的是自己的斧头,只好又答:“是啊是啊!”
水神又把手上的东西扔在一边,拿起第三个东西问:
“这把斧头,是不是你的?”
樵夫还是看不清楚,但是他觉得再这样下去他就没法砍柴了。
于是他又一次答:“是啊是啊!真的是!”
水神看着他,哈哈大笑道:
“你看看你现在的样子,真是丑陋!”
之后就消失了。
樵夫觉得很坑爹,他今天不仅没有砍到柴,还丢了一把斧头给那个水神。
于是他准备回家换一把斧头。
回家之后他才发现真正坑爹的事情才刚开始。
水神拿着的的确是他的斧头。
但是不一定是他拿出去的那把,还有可能是水神不知道怎么偷偷从他家里拿走的。
换句话说,水神可能拿走了他的一把,两把或者三把斧头。
樵夫觉得今天真是倒霉透了,但不管怎么样日子还得过。
他想统计他的损失。
樵夫的每一把斧头都有一个价值,不同斧头的价值不同。总损失就是丢掉的斧头价值和。
他想对于每个可能的总损失,计算有几种可能的方案。
注意:如果水神拿走了两把斧头a和b,(a,b)和(b,a)视为一种方案。拿走三把斧头时,(a,b,c),(b,c,a),(c,a,b),(c,b,a),(b,a,c),(a,c,b)视为一种方案。

Input

第一行是整数N,表示有N把斧头。
接下来n行升序输入N个数字Ai,表示每把斧头的价值。

Output

若干行,按升序对于所有可能的总损失输出一行x y,x为损失值,y为方案数。

Sample Input

4
4
5
6
7

Sample Output

4 1
5 1
6 1
7 1
9 1
10 1
11 2
12 1
13 1
15 1
16 1
17 1
18 1
样例解释
11有两种方案是4+7和5+6,其他损失值都有唯一方案,例如4=4,5=5,10=4+6,18=5+6+7.

Hint

所有数据满足:Ai<=40000

题解

假设我们没有不能重复选取而且无序计数的限制, 直接构造多项式 $A(x)=\sum\limits_{k\in S} x^k$ 然后计算 $A(x)+A(x)^2+A(x)^3$ 就好了

然而这题有点诡异...因为它要求的东西是无序对而且还不允许选两次...这就非常蠢...

好的那么我们想一想如果直接求 $A(x)+A(x)^2+A(x)^3$ 会发生什么:

对于形如 $(a,b)$ 的值, 我们会算两遍;

对于形如 $(a,b,c)$ 的值, 我们会算 $6$ 遍;

对于形如 $(a,a,b)$ 的值, 我们会算 $3$ 遍;

对于形如 $(a,a)$ 和 $(a,a,a)$ 的值, 我们会算 $1$ 遍(然而这些值不合法)

因为情况比较少, 我们手动容斥一发.

我们设 $A_1(x)$ 为原来的 $A(x)$, $A_2(x)$ 为将其中的所有项指数扩大两倍的多项式, $A_3(x)$ 同理. 这样我们就可以把两个同样的值绑定在一起计算方案.

然后我们对不同大小的组合分别计算:

大小为 $1$ 的组合, 显然就是 $A_1(x)$;

大小为 $2$ 的组合, $(a,b)$ 算了两遍, $(a,a)$ 算了一遍, 而 $(a,a)$ 不合法, 我们把它减掉. 而 $(a,a)$ 的方案数就是 $A_2(x)$, 于是这部分的答案就是 $\frac 1 2 \left(A_1(x)^2-A_2(x)\right)$

大小为 $3$ 的组合, $(a,b,c)$ 算了 $6$ 遍, $(a,a,b)$ 算了三遍, 我们想办法计算出 $(a,a,b)$ 的个数并减掉: 我们如果直接计算 $A_1(x)A_2(x)$ 的话又会把 $(a,a,a)$ 算上一遍, 所以 $(a,a,b)$ 的个数就是 $A_1(x)A_2(x)-A_3(x)$. $(a,a,a)$ 的个数就是 $A_3(x)$, 于是我们就可以得到总的方案数是 $\frac 1 6 \left(A_1(x)^3-3\left(A_1(x)A_2(x)-A_3(x)\right)-A_3(x)\right)$

于是总答案就是长这样的:

$$ A_1(x)+\frac 1 2 \left(A_1(x)^2-A_2(x)\right)+\frac 1 6 \left(A_1(x)^3-3\left(A_1(x)A_2(x)-A_3(x)\right)-A_3(x)\right) $$

代码实现

全家桶板子真好用

  1 #include <bits/stdc++.h>
  2 
  3 const int G=3;
  4 const int DFT=1;
  5 const int IDFT=-1;
  6 const int MAXN=550000;
  7 const int MOD=998244353;
  8 const int INV2=(MOD+1)>>1;
  9 const int PHI=MOD-1;
 10 
 11 typedef std::vector<int> Poly;
 12 
 13 Poly Sqrt(Poly);
 14 void Read(Poly&);
 15 Poly Inverse(Poly);
 16 Poly Ln(const Poly&);
 17 Poly Exp(const Poly&);
 18 void Print(const Poly&);
 19 void NTT(Poly&,int,int);
 20 Poly Pow(const Poly&,int);
 21 Poly Integral(const Poly&);
 22 Poly Derivative(const Poly&);
 23 Poly operator*(int,Poly);
 24 Poly operator*(Poly,Poly);
 25 Poly operator/(Poly,Poly);
 26 Poly operator%(Poly,Poly);
 27 Poly operator+(const Poly&,const Poly&);
 28 Poly operator-(const Poly&,const Poly&);
 29 
 30 int w[MAXN];
 31 int rev[MAXN];
 32 
 33 int NTTPre(int);
 34 int Pow(int,int,int);
 35 
 36 int main(){
 37     int n;
 38     scanf("%d",&n);
 39     int maxv=0;
 40     for(int i=0;i<n;i++){
 41         scanf("%d",w+i);
 42         maxv=std::max(maxv,w[i]);
 43     }
 44     Poly s1(maxv+1),s2(maxv*2+1),s3(maxv*3+1);
 45     for(int i=0;i<n;i++){
 46         s1[w[i]]=1;
 47         s2[2*w[i]]=1;
 48         s3[3*w[i]]=1;
 49     }
 50     Poly ans=s1+INV2*(s1*s1-s2)+Pow(6,MOD-2,MOD)*(s1*s1*s1-3*(s1*s2-s3)-s3);
 51     for(int i=1;i<=maxv*3;i++)
 52         if(ans[i])
 53             printf("%d %d\n",i,ans[i]);
 54     return 0;
 55 }
 56 
 57 void Read(Poly& a){
 58     for(auto& i:a)
 59         scanf("%d",&i);
 60 }
 61 
 62 void Print(const Poly& a){
 63     for(auto i:a)
 64         printf("%d ",i);
 65     puts("");
 66 }
 67 
 68 Poly operator*(int k,Poly a){
 69     for(auto& i:a)
 70         i=1ll*k*i%MOD;
 71     return a;
 72 }
 73 
 74 Poly Pow(const Poly& a,int k){
 75     Poly log=Ln(a);
 76     for(auto& i:log)
 77         i=1ll*i*k%MOD;
 78     return Exp(log);
 79 }
 80 
 81 Poly Sqrt(Poly a){
 82     int len=a.size();
 83     if(len==1)
 84         return Poly(1,int(sqrt(a[0])));
 85     else{
 86         Poly b=a;
 87         b.resize((len+1)>>1);
 88         b=Sqrt(b);
 89         b.resize(len);
 90         Poly inv=Inverse(b);
 91         int bln=NTTPre(inv.size()+a.size());
 92         NTT(a,bln,DFT);
 93         NTT(inv,bln,DFT);
 94         for(int i=0;i<bln;i++)
 95             a[i]=1ll*a[i]*INV2%MOD*inv[i]%MOD;
 96         NTT(a,bln,IDFT);
 97         for(int i=0;i<len;i++)
 98             b[i]=(1ll*b[i]*INV2%MOD+a[i])%MOD;
 99         return b;
100     }
101 }
102 
103 Poly Exp(const Poly& a){
104     size_t len=1;
105     Poly ans(1,1),one(1,1);
106     while(len<(a.size()<<1)){
107         len<<=1;
108         Poly b=a;
109         b.resize(len);
110         ans=ans*(one-Ln(ans)+b);
111         ans.resize(len);
112     }
113     ans.resize(a.size());
114     return ans;
115 }
116 
117 Poly Ln(const Poly& a){
118     Poly ans=Integral(Derivative(a)*Inverse(a));
119     ans.resize(a.size());
120     return ans;
121 }
122 
123 Poly Integral(const Poly& a){
124     int len=a.size();
125     Poly ans(len+1);
126     for(int i=1;i<len;i++)
127         ans[i]=1ll*a[i-1]*Pow(i,MOD-2,MOD)%MOD;
128     return ans;
129 }
130 
131 Poly Derivative(const Poly& a){
132     int len=a.size();
133     Poly ans(len-1);
134     for(int i=1;i<len;i++)
135         ans[i-1]=1ll*a[i]*i%MOD;
136     return ans;
137 }
138 
139 Poly operator/(Poly a,Poly b){
140     int n=a.size()-1,m=b.size()-1;
141     Poly ans(1);
142     if(n>=m){
143         std::reverse(a.begin(),a.end());
144         std::reverse(b.begin(),b.end());
145         b.resize(n-m+1);
146         ans=Inverse(b)*a;
147         ans.resize(n-m+1);
148         std::reverse(ans.begin(),ans.end());
149     }
150     return ans;
151 }
152 
153 Poly operator%(Poly a,Poly b){
154     int n=a.size()-1,m=b.size()-1;
155     Poly ans;
156     if(n<m)
157         ans=a;
158     else
159         ans=a-(a/b)*b;
160     ans.resize(m);
161     return ans;
162 }
163 
164 Poly operator*(Poly a,Poly b){
165     int len=a.size()+b.size()-1;
166     int bln=NTTPre(len);
167     NTT(a,bln,DFT);
168     NTT(b,bln,DFT);
169     for(int i=0;i<bln;i++)
170         a[i]=1ll*a[i]*b[i]%MOD;
171     NTT(a,bln,IDFT);
172     a.resize(len);
173     return a;
174 }
175 
176 Poly operator+(const Poly& a,const Poly& b){
177     Poly ans(std::max(a.size(),b.size()));
178     std::copy(a.begin(),a.end(),ans.begin());
179     for(size_t i=0;i<b.size();i++)
180         ans[i]=(ans[i]+b[i])%MOD;
181     return ans;
182 }
183 
184 Poly operator-(const Poly& a,const Poly& b){
185     Poly ans(std::max(a.size(),b.size()));
186     std::copy(a.begin(),a.end(),ans.begin());
187     for(size_t i=0;i<b.size();i++)
188         ans[i]=(ans[i]+MOD-b[i])%MOD;
189     return ans;
190 }
191 
192 Poly Inverse(Poly a){
193     int len=a.size();
194     if(len==1)
195         return Poly(1,Pow(a[0],MOD-2,MOD));
196     else{
197         Poly b(a);
198         b.resize((len+1)>>1);
199         b=Inverse(b);
200         int bln=NTTPre(b.size()*2+a.size());
201         NTT(a,bln,DFT);
202         NTT(b,bln,DFT);
203         for(int i=0;i<bln;i++)
204             b[i]=(2ll*b[i]%MOD-1ll*b[i]*b[i]%MOD*a[i]%MOD+MOD)%MOD;
205         NTT(b,bln,IDFT);
206         b.resize(len);
207         return b;
208     }
209 }
210 
211 void NTT(Poly& a,int len,int opt){
212     a.resize(len);
213     for(int i=0;i<len;i++)
214         if(rev[i]>i)
215             std::swap(a[i],a[rev[i]]);
216     for(int i=1;i<len;i<<=1){
217         int step=i<<1;
218         int wn=Pow(G,(PHI+opt*PHI/step)%PHI,MOD);
219         for(int j=0;j<len;j+=step){
220             int w=1;
221             for(int k=0;k<i;k++,w=1ll*w*wn%MOD){
222                 int x=a[j+k];
223                 int y=1ll*a[j+k+i]*w%MOD;
224                 a[j+k]=(x+y)%MOD;
225                 a[j+k+i]=(x-y+MOD)%MOD;
226             }
227         }
228     }
229     if(opt==IDFT){
230         int inv=Pow(len,MOD-2,MOD);
231         for(int i=0;i<len;i++)
232             a[i]=1ll*a[i]*inv%MOD;
233     }
234 }
235 
236 int NTTPre(int n){
237     int bln=1,bct=0;
238     while(bln<n){
239         bln<<=1;
240         ++bct;
241     }
242     for(int i=0;i<bln;i++)
243         rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bct-1));
244     return bln;
245 }
246 
247 inline int Pow(int a,int n,int p){
248     int ans=1;
249     while(n>0){
250         if(n&1)
251             ans=1ll*a*ans%p;
252         a=1ll*a*a%p;
253         n>>=1;
254     }
255     return ans;
256 }
BZOJ 3771

日常图包

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posted @ 2019-01-02 21:43  rvalue  阅读(261)  评论(0编辑  收藏  举报