复变函数 ext 1

复变函数 ext 1

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基本概念

复数的几何表示

在平面上取定一个直角坐标系，实数对\((a,b)\)就表示平面上的一个点，所以复数\(z=a+bi\)可以看成平面上以 a 为横坐标、以 b 为纵坐标的一个点. 这个点的极坐标设为\((r,\theta)\)，那么:

\[a=r\cos\theta，b=r\sin\theta\\ z=r(\cos\theta+i\sin\theta)，r=|z| \]

我们还可以把复数看作在坐标轴上投影分别为实部和虚部的一个向量，此时把向量和复数作为同义语来看待。

为了说明复数乘法的几何意义, 我们采用复数的三角表示式. 设：

\[z_1=r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)\\ z_2=r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2) \]

那么

\[z_1z_2=r_1r_2(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)\\ =r_1r_2(\cos\theta_1\cos\theta_2+i\cos\theta_1\sin\theta_2+i\sin\theta_1\cos\theta_2-\sin\theta_1\sin\theta_2)\\ =r_1r_2(\cos{(\theta_1+\theta_2)}+i(\sin{(\theta_1+\theta_2)})) \]

所以

\[|z_1z_2|=|z_1||z_2|，Arg(z_1z_2)=Arg(z_1)+Arg(z_2) \]

从几何上看，用复数 w 乘复数 z，相当于把 z 沿反时针方向转动大小为 arg w 的角，再让 z 的长度伸长 |w| 倍. 特别地，如果 w 是单位向量，那么 w 乘 z 的结果
就是把 z 沿反时针方向转动大小为 arg w 的角

同理对于除法来说，\(Arg(\frac{z_1}{z_2})=Arg(z_1)-Arg(z_2)\),

de Mouvre 公式

\[(\cos\theta+i\sin\theta)^{n}=\cos{n\theta}+i\sin{n\theta} \]

现在设\(\omega=r(\cos\theta+i\sin\theta)\)，欲求\(z=\rho(\cos\phi+i\sin\phi)=\omega^{\frac1n}\)，即：

\[\rho^n(\cos{n\phi}+i\sin{n\phi})=r(\cos\theta+i\sin\theta) \]

由此可知：\(\rho=\sqrt[n]{r}，n\phi=\theta+2k\pi\).

扩充平面与复数的球面表示

在复平面上，没有一个点和 \(\infin\)相对应，但我们想像有一个无穷远点和\(\infin\)对应，加上无穷远点的复平面称为扩充平面或闭平面，不包括无穷远点的复平面也称为开平面. 在复平
面上，无穷远点和普通的点是不一样的.

复数列的极限

对于\(a\in\mathbb{C}，r<0\)，称

\[B(a，r)=\{z\in\mathbb{C}:|z-a|<r\} \]

为以 a 为中心， 以 r 为半径的圆盘，也可以称为以 a 点的一个 r 邻域。这样从几何上讲，\(\lim_{n\to\infin}z_n=z_0\)可以说成 for \((\forall\varepsilon>0)(z_n\in B(a,r))\).

开集、闭集和紧集

设 E 是一个平面点集，\(\mathbb{C}\) 中的点对 E 而言有三类：

  1. 若存在 r > 0， 使得$ B(a,r)\sub E$, 则称 a 为 E 的内点；
  2. 若存在 r > 0， 使得$ B(a,r)\sub E^c\(, 则称 a 为 E 的外点，其中\)E^c$为 E 的余集或补集；
  3. 若存在 r > 0， 使得$ B(a,r)\(中既有 E 中的点，也有补集中的点, 则称 a 为 E 的边界点，边界记为\)\partial E$；

于是，集合 E 被分为三个互不相交的部分：\(\mathbb{C}=E^o\cup(E^c)^o\cup\partial E\);

  • 若 E 的所有点都是他的内点，E 为开集合，若 \(E^c\)为开集，那么 E 为闭集。

点集 E 的直径定义为 E 中任意两点间距离的上确界，记为 diam E，即：

\[diam\ E=\sup\{|z_1-z_2|:z_1,z_2\in E\} \]

posted @ 2021-01-15 15:07  ExplodedVegetable  阅读(632)  评论(0)    收藏  举报