矩阵分析 p13~p20

• 为什么我们需要子空间？

子空间本身按\(\mathbb{V}\)中原有的加法数乘运算，也构成一个线性空间；

从映射的角度讲，在子空间上的运算仍然映射到了子空间上；

• 有没有不识子空间的子集合？

在直角坐标系上，用基的角度思考，就是\(\vec{i},\vec{j}\) 构成的\(\mathbb{V}\)的平面。若把\(y=x\)直线上的向量看作子空间\(\mathbb{W}\)，他对加法、数乘运算封闭。然而在直线 \(y=-x+1\)上的向量，不能构成一个子空间。

• 向量组生成的子空间 及 子空间的生成组

\(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p\)是向量组，定义：Span{\(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p\)}=\(\{\alpha_1c_1,\alpha_2c_2,...,\alpha_pc_p|c_i\in\mathbb{F},i=1,2,...,p\}=\mathbb{W}\)，即 \(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p\) 的线性组合的全体，则\(\mathbb{W}\)是\(\mathbb{V}\)的一个子空间。

虽然无法列举出每一个元素，但是可以指出空间的生成元。生成组提供了子空间的一种表现方式。

• 矩阵\(A\in\mathbb{F}^{m\times n}\)的核与像

\[\{x|x\in\mathbb{F}^{n},Ax=0\} \]

是\(\mathbb{F}^n\)的子空间（齐次线性方程组的解空间-Kernel A的核)；

\[\{y|y\in\mathbb{F}^m,\exist x\in\mathbb{F}^n,s.t.\ y=Ax\}=\{Ax|x\in\mathbb{F}^n\} \]

是\(\mathbb{F}^n\)的子空间 （image A的像)。

im A 即为 A 的列向量组所张成的子空间。

• 子空间的交与和

设\(\mathbb{U},\mathbb{W}\)是 \(\mathbb{V}\)的子空间：

1. \(U\cap W\) 也是子空间，称为\(\mathbb{U},\mathbb{W}\)的交（子空间）；
2. \(\mathbb{U}+\mathbb{W}=Span\{\mathbb{U}、\mathbb{W}\}=Span\{\mathbb{U}+\mathbb{W}|\begin{array}{c}u=\mathbb{U}\\w=\mathbb{W}\end{array}\}\)也是子空间，称为\(\mathbb{U},\mathbb{W}\)的和（子空间）；

值得注意的是，并空间不一定是子空间。

线性映射

• 线性映射与线性变换

设\(\mathbb{V_1}、\mathbb{V_2}\) 是\(\mathbb{F}\)上的线性空间，\(\sigma:\mathbb{V_1}\to\mathbb{V_2}\)是映射，如果：

1. \(\sigma(e_1+e_2):\sigma(e_1)+\sigma(e_2)\);
2. \(\sigma(e_1\cdot k):\sigma(e_1)\cdot k\).

则称 \(\sigma\) 是\(\mathbb{V_1}到\mathbb{V_2}\)的线性映射。若实现了对自身的映射，则称为一个变换。

若线性映射是可逆映射，则称其为线性同构。

• 矩阵与标准线性空间之间的线性映射两事物的等同性

给定\(A\in\mathbb{F}^{m\times n}\)通过右乘列向量，可决定线性映射\(\mathcal{A}\)：

\[\mathbb{F}^n\to\mathbb{F}^m\\ x\mapsto y=Ax \]

那么给出一个线性映射，是否能由一个矩阵表达出来呢？

记 \(\mathbb{F}^n\) 的标准基 : \(\epsilon_1,\cdots,\epsilon_n\) ;

因为\(\mathcal{A}\)是一个线性映射，那么\(\mathcal{A}(\epsilon_i)\in\mathbb{F}^m\);

将映射得来的若干列向量拼为矩阵 \(A\in\mathbb{F}^{m\times n}\);

• 如何表示？

给定线性映射 \(\mathcal{A}:\mathcal{V}\to\mathcal{W}\)，dim（V）= n，dim（W）=m；

选取 \(\mathcal{V}\) 的基\(\epsilon_1,\cdots,\epsilon_n\) ; \(\mathcal{W}\) 的基\(\eta,\cdots,\eta_m\) ;

第 j 个入口基的向量 \(\epsilon_j\) 的像 \(\mathcal{A}(\epsilon_j)\) 在出口基中表示

即

\[\mathcal{A}(\epsilon_j)=[\eta,\cdots,\eta_m] \left[\begin{array}{c} a_{1j}\\a_{2j}\\\vdots\\a_{mj} \end{array}\right] \]

则将他们拼成矩阵表示：

\[A=\left[\begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&\cdots\\a_{21}&a_{22}&\cdots\\\vdots\\a_{m1}&\cdots \end{array}\right] \]

则称 A 为 \(\mathcal{A}\) 在入口基 和 出口基 下的矩阵表示。

\(\mathcal{A}[\epsilon_1,\cdots,\epsilon_n]=[\eta,\cdots,\eta_m]A\) ;

\[[线性映射] \left[\begin{array}{c} 入\\口\\基\\矩\\阵 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 出\\口\\基\\矩\\阵 \end{array}\right] [矩阵表示] \]

• 线性映射用坐标计算

给定线性映射 \(\mathcal{A}:\mathcal{V}\to\mathcal{W}\)，选取 \(\mathcal{V}\) 的基\(\epsilon_1,\cdots,\epsilon_n\) ; \(\mathcal{W}\) 的基\(\eta,\cdots,\eta_m\) ;

给定\(\mathcal{v}\in\mathcal{V}\) 基坐标为 \(x\)，则\(\mathcal{\mathcal{v}}\in\mathcal{W}\) 的坐标为 \(Ax\) ;