矩阵分析 p1~p13

矩阵分析：线性空间与线性映射(p1~p)

目录

• 矩阵分析：线性空间与线性映射(p1~p)
  • 线性空间
  • 向量组及向量组拼成的抽象矩阵

线性空间

域：

首先是一个集合，定义了两种运算，加法和乘法及其逆运算均封闭，则称为域。

\[\mathbb{Z}、\mathbb{Z}^+:不封闭，称为环；\\而有理数\mathbb{Q}显然是封闭的，可以作为域； \]

关于“X”：

是笛卡尔积，Cartesian Product；（注意顺序）

\[\mathcal{S_1}\times\mathcal{S_2}=\{(s_1,s_2)^T|s_1\in\mathcal{S_1},s_2\in\mathcal{S_2}\} \]

有序对的全体构成了一个新的集合；

映射：

\(\mapsto\) : 集合中的元素的映射。

有时候也把线性空间称之为向量空间，线性空间中的元素称之为向量。

• 关于为什么把数量乘法的数写在右边

\[\mathcal{V}\cdot k=\left[\begin{array}{c} a\\b\\c \end{array} \right]_{3\times1}\cdot k_{1\times1} \]

统一了矩阵乘法与数量乘法的形式。

向量组及向量组拼成的抽象矩阵

（def）设\(\mathcal{V}\) 是\(\mathcal{F}\) 上的线性空间，\(\mathcal{V}\) 中的有限序列 \(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_p\)称为\(\mathcal{V}\) 中的一个向量组，向量组按顺序排成的行称为向量组拼成的抽象矩阵：

\[[\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_p] \]

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• 向量组的线性相关性

如果存在不全为零的 p 个数，\(k_i\in\mathbb{F},i=1,\cdots,p\),使得线性组合：

\[\sum_{i=1}^{p}\alpha_ik_i=0 \]

则称向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n\)线性相关；

\(\exist[k_1,...,k_p]^T\ne0,[k_1,...,k_p]^T\in\mathbb{F},s.t.\sum_{i=1}^{p}\alpha_ik_i=0\)的否定：

\[\overline{(\exist A)P(A)}=(\forall A)\overline{P(A)} \]

线性无关：

\[\forall[k_1,...,k_p]^T\ne0，\sum_{i=1}^{p}\alpha_ik_i\ne0 \]

逆否命题下：

\[if:\sum_{i=1}^{p}\alpha_ik_i=0，then:[k_1,...,k_p]^T=0， \]

• 线性相关性的矩阵描述

\[[\alpha_1,...,\alpha_p]\left[\begin{array}{c}x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_p\end{array}\right]=\vec{0} \]

线性相关：线性方程组有非零解。

线性无关：线性方程组仅零解。

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（def）两个向量组之间的线性表示：

\(A=[\alpha_1,\cdots,\alpha_p]；B=[\beta_1,\cdots,\beta_q];\beta\)， 若B可由A线性表出，即：AX=B，矩阵方程有解。

若B可由A线性表示，则\(\{B_j\}\leq\{A_i\}\);