复变函数2
复变函数2
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留数
奇点和零点
- 奇点：函数不解析的点，\(f(z)\)展开式\((z-z_0)\)负幂项个数；
| 在\(z_0\)中 | 个数 |
|---|---|
| 可去奇点 | 0 |
| m级极点 eg:\((z-z_0)^m\) | m |
| 本性奇点 | \(\infin\) |
- 零点：函数等于零的点。
\[m级零点：\left\{
\begin{array}{rcl}
f^{(m)}(z_0)\ne0&\\
f^{(n)}(z_0)=0&，n<m
\end{array}\right.
\]
此时，\(z_0\)是\(\frac1{f(z)}\)的m级极点；
- 若\(z_0\)是\(f(z)\)的m级零点，\(g(z)\)的n级零点，则\(z_0\)是\(\frac{g(z)}{f(z)}\)的 m-n 级极点；
若函数\(f(z),g(z)\)分别是以\(z=a\)为 m、n级极点，则：
设\(f(z)=\frac{f_1(z)}{(x-a)^m},f_1(a)\ne0\)，同理\(g(z)\);
\[f(z)g(z)=\frac{f_1(z)g_1(z)}{(x-a)^{m+n}} \]\(a\)为 m+n 级极点。
留数
若\(f(z)=\sum_{n=-\infin}^{+\infin}c_n(z-z_0)^n\)，则 Res[\(f(z)，z_0\)]=\(c_{-1}\)；
- 函数 \(f(z)\) 在 \(z_0\) 处的留数记为：\(c_{-1}\).
例：
\[Res\left[\frac{\sin{z}}{z^2}，0\right]\\
=Res\left[\frac{1}{z^2}(\cdots+z-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}+\cdots)，0\right]\\
=Res\left[(\cdots+\frac1z-\frac{z}{3!}+\frac{z^3}{5!}+\cdots)，0\right]=1
\]
求留数的规则（ I ） 一级极点：
- 若 \(z_0\) 为 \(f(z)\) 的一级极点，则：
Res[\(f(z),z_0\)]=\(\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)\).
求留数的规则（ II ） m级极点:
- 若 \(z_0\) 为 \(f(z)\) 的 m 级极点，则：
Res[\(f(z),z_0\)]=\(\frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to z_0}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}\{(z-z_0)^mf(z)\}\).
求留数的规则（ * ）:
\[\oint_cf(z)dz=2\pi i\sum_{k=1}^nRes[f(z),z_k]
\]
利用留数计算积分：\(\oint_{|z|=2}\frac{5z-2}{z(z-1)^2}dz\).（\(在|z|=2内有两个极点：0，1；\))
Res[f(z),0]= -2 ，Res[f(z),1]= 2;
\[J=2\pi i\sum_{k=1}^nRes[f(z),z_k]=2\pi i(-2+2)=0 \]
求留数的规则（ III ）分母的一级零点:
若\(f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}\)，\(z_0\) 是 \(Q(z)\) 的一级零点，则：
Res[ f(z) , \(z_0\) ] = \(\frac{P(z_0)}{Q'(z_0)}\);
求留数的规则（ IV ）:
\[Res[f(z),\infin]=-Res[f(\frac1z)\cdot\frac1{z^2},0]
\]
求留数的规则（ ** ）:
\[\sum_{k=1}^nRes[f(z),z_k]=0
\]
