【1】从零认识中心极限思想-不等式的关系的定义、关系

不等式的关系

目录

• 不等式的关系
  • 1-均值&不等式
    • 1.1 算数均值的定义
    • 1.2 几何均值的定义
    • 1.3 调和均值定义
    • 1-4 平方均值的定义
    • 1-5 排序不等式
      • 引理（1）Abel变换
      • 引理（2）级数的重排
      • 引理（3）
      • 排序不等式
    • 1.6 Chebyshev 不等式
  • 2- 不等关系大小证明
    • 2.1 由Chebyshev不等式证明平方均值大于等于算术均值
    • 2.2 利用排序不等式证明算术均值大于等于几何均值
    • 2.3 利用算术几何均值不等式证明几何均值大于调和均值

1-均值&不等式

1.1 算数均值的定义

设算术均值为\(A_n\)，定义为：

\[A_n=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i \]

这是最为常见的均值，平均长度、平均外径、平均时长都是用此来衡量。

1.2 几何均值的定义

设几何均值为\(G_n\)，定义为：

\[G_n=\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}=\sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}x_i} \]

1.3 调和均值定义

设调和均值为\(H_n\)，定义为：

\[H_n=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}+}=\frac{n}{\sum_{i=1}^n\frac{1}{x_i}} \]

1-4 平方均值的定义

设平方均值为\(Q_n\)，定义为：

\[Q_n=\sqrt[2]{\frac{x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2}{n}}=\sqrt[2]{\frac{\sum_{i=1}^nx_i^2}{n}} \]

1-5 排序不等式

引理（1）Abel变换

设\(\{a_i\}，\{b_i\}\)为任意两组有序的实数组，令\(B_0=0,B_k=\sum_{i=1}^kB_i\)，那么\(\sum_{k=1}^na_kb_k=a_nb_n-\sum_{k=1}^{n-1}(a_{k-1}-a_k)B_k\).

\[\begin{align} \sum_{k=1}^na_kb_k&=\sum_{k=1}^na_k(B_k-B_{k-1})\\ &=a_n(B_n-B_{n-1})+a_{n-1}(B_{n-1}-B_{n-2})+\dots+a_1B_1\\ &=a_nB_n-(a_nB_{n-1}-a_{n-1}B_{n-1})-(a_{n-1}B_{n-2}-a_{n-2}B_{n-2})-\dots-(a_{2}-a_1)B_1\\ &=a_nb_n-\sum_{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)B_k \end{align} \]

引理（2）级数的重排

对于数列\(\{u_n\}\)按映射\(F:u_n\to u_{k(n)}\)所得到的数列\(\{u_{k(n)}\}\)称为原数列的重排。

引理（3）

设\(\{b_i\}\)满足\(b_i\leq b_{i+1}\),且\(\{c_i\}\)是原数列的任意一个排列，那么

\[\sum_{i=1}^kb_i\leq\sum_{i=1}^kc_i\leq\sum_{i=1}^kb_{n-i+1} \]

若存在\(1\leq k=m\leq n\)使等号成立，当且仅当 \(b_i=b_j，(i\neq j)\).

排序不等式

设\(a1\geq a_2\geq\dots\geq a_n，b_1\geq b_2\geq\dots b_n\)，则有不等关系如下：

\[\sum_{i=1}^{n}a_ib_i\geq\sum_{k=1}^na_{i_k}b_{j_k}\geq a_nb_1+a_{n-1}b_2+\dots+a_1b_n \]

（证法一）

设\(m<n,a_m\leq a_n，b_{j_m}\geq b_{j_n}，j_n\neq n\)，设\(j_n=m，\)交换\(b_{j_n}和b_{j_m}\)

\[\begin{align} S-S_1=&a_mb_{j_m}+a_nb_{j_n}-a_mb_{j_n}+a_nb_{j_m}\\ =&a_m(b_{j_m}-b_{j_n})+a_n(b_{j_n}-b_{j_m})\\ =&(a_m-a_n)(b_{j_m}-b_{j_n})\\ \leq&0\\ 即:交换后\geq&交换前 \end{align} \]

故最多经过\(n-1\)次交换，可得到

\[S_{max}=\sum_{i=1}^{n}a_ib_i\\ S_{min}=a_nb_1+a_{n-1}b_2+\dots+a_1b_n\\ 即：顺序结合\geq乱序结合\geq逆序结合 \]

（证法二）

设：

\[逆序积和\qquad S=a_1b_n+a_2b_{n-1}+\dots+a_nb_1 \\ 乱序积和\qquad S'=a_1c_1+a_2c_2+\dots+a_nc_n \\ 顺序积和\qquad S''=a_1b_1+a_2b_2+\dots+a_nb_n \\ \]

首先：

\[S-S'=a_1(b_n-c_1)+a_2(b_{n-1}-c_2)+\dots+a_n(b_1-c_n) \]

不妨设，

\[B_0=0，B_k=\sum_{i=1}^k(b_{n-i+1}-c_i) \]

由引理（3），

\[B_k\geq0,B_n=0 \]

则由Abel变换和\(\{a_i\}\)递增

\[\begin{align} (a_{k+1}-a_k)B_k&\geq0\\ \therefore S-S'&=a_nB_n-\sum_{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)B_k\\ &=-\sum_{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)B_k\leq0 \end{align} \]

因此 “逆序积和\(\leq\)乱序积和”。

同理，设：

\[B_0'=0，B_k'=\sum_{i=1}^k(c_i-b_i) \]

有：

\[\begin{align} S'-S''=&a_1(c_1-b_1)+a_2(c_2-b_2)+\dots+a_n(c_n-b_n)\\ =&-\sum_{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)B_k'\leq0 \end{align} \]

若要使等号成立，则对\(k=1,2,\dots n-1\),有：

\[（a_{k+1}-a_k）B_k=0\\ （a_{k+1}-a_k）B'_k=0 \]

即：

\[(i)\qquad a_1=a_2=\dots=a_n\\ (ii)\qquad \exist m\in[1,n-1]，s.t.\\ \qquad\qquad a_1=\dots=a_m.a_m<a_{m-1}\\ \qquad\qquad 这时必有B_m=0,B'_m=0 \]

1.6 Chebyshev 不等式

由排序不等式：

\[n\sum_{i=1}^{n}a_ib_i\geq(\sum_{i=1}^na_i)(\sum_{i=1}^nb_i)\geq n(a_nb_1+a_{n-1}b_2+\dots+a_1b_n) \]

于是得到切比舍夫不等式：

\[\frac{\sum_{i=1}^{n}a_ib_i}{n}\geq(\frac{\sum_{i=1}^na_i}{n})(\frac{\sum_{i=1}^nb_i}{n})\geq \frac{(a_nb_1+a_{n-1}b_2+\dots+a_1b_n)}{n} \]

2- 不等关系大小证明

2.1 由Chebyshev不等式证明平方均值大于等于算术均值

设\(a_i=b_i\)，利用Chebyshev不等式：

\[\frac{\sum_{i=1}^na_i^2}{n}\geq(\frac{\sum_{i=1}^na_i}{n})^2 \]

则有\(Q_n^2\geq A_n^2\)，即平方均值大于算术均值。

2.2 利用排序不等式证明算术均值大于等于几何均值

设

\[G_n=\sqrt[n]{\prod_{i=1}^na_i},\ b_i=\frac{a_i}{G_n},(i=1,2,\dots n)\\ 故b_1\dots b_n=1,取x_i>0,使得: b_i=\frac{x_i}{x_{i+1}},..b_n=\frac{x_n}{x_1} \]

由排序不等式知：

\[\begin{align} \sum_{i=1}^{n}b_i &=\frac{x_1}{x_2}+\cdots+\frac{x_n}{x_1}\\ &\geq \sum_{i=1}^{b}x_i\frac{1}{x_i}\\ &=n\\ \therefore \sum_{i=1}^{n}\frac{a_i}{G_n}&\geq n，即\ \frac{\sum_{i=1}^na_i}{n}\geq G_n \end{align} \]

即\(A_n\geq G_n\)

2.3 利用算术几何均值不等式证明几何均值大于调和均值

\[由\frac{\sum_{i=1}^n\frac{1}{a_i}}{n}\geq\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n\frac{1}{a_i}} \]

两边同取倒数，得到：

\[\sqrt[n]{a_1\dots a_n}\geq\frac{n}{\sum_{i=1}^n\frac{1}{a_i}} \]

即\(G_n\geq H_n\)

综上所述，我们有：

\[Q_n\geq A_n\geq G_n\geq H_n \]