天平分球（答案）
问题一：
分三组，各四球。
第一次：左右各四球称量。如果平衡，则万事大吉。若不平，则看下面说明。并假设左边重一些。
第二次准备活动：左边拿走三个球，而换上未称的四个球中的三个（全是正常球），然后将左边未拿走的一只球和右边四球中的一球交换。
第二次称量：有三种情况。
1、平衡：则说明先前从左边拿下的三个球中有一个是坏球，而且还知道了这个球是偏重的。问题解决。
2、仍然是左边重：说明第二次称前的准备活动所涉及的球，全都是正常球。也即坏球在右边的三个球中（去除那个从左边换过来的球），并且知道，这个球是偏轻的。问题解决。
3、变成右边重了：马上就知坏球在左右交换的那两个球中。
（fan 2001-05-12）
这道题的难度就在于你不知道问题球的重量到底是轻了还是重了，所以必须推算出这一点，否则第三步就很难量出来。（倒推分析：最后一步必须是不知道轻重关系的两个球或是知道轻重关系的的三个球）
第一步，先从逻辑上分析，除非12个球全称，否则一定会有两种情况，平衡或不平衡，而12个球全称是不可行的，因为你不知道称了以后到底哪一边有问题，所以必须要分组，分组的原则是尽量缩小问题球的范围和尽量让球不能平衡（即每次称尽量多的球，因为平衡的情况对分析球的轻重关系没有帮助），所以分三组，4个一组的分法是最合理的，因为第一次称8个，不平衡的机会较大，如果平衡，问题球的范围只有4个，不平衡的话，虽然有8个，我们也有了一项分析轻重的线索。
如果第一步平衡问题球的范围只有4个，方法很多，最简单的是取两个球上天平，平衡就是另外两个球中有一个有问题，不平衡则有问题的球在这两个中间。最后一步在有问题的两球中选一个与其它没问题的球称一下，就可知道到底是这个球还是剩下的球有问题了。
如果第一步不平衡
线索1.有4个球比另4个重(为了表述方便，将它们称为重边和轻边）
线索2.有4个球是可信的，没有嫌疑嫌疑犯的范围有8个，还需要分组，分组的原则还是尽量缩小问题球的范围和尽量让球不能平衡，并且要为第三步将范围限制在三球以下。喜欢推理的朋友都知道，变化可以为我们带来推理的线索，而不变的可以给我们推理的依据。所以我们必须改变球的排列方式，来得到更多的线索。可以应用的方法有三种：排除、交换、使用标准球。而第一步给我们留下的线索也很重要。
实战：
1.排除：现在天平上每边有4个球，从每边各取走一个作为一组。
2.交换：现在每边有三个球，共6个，但每边交换一或两个行不通，
因为这样变化与未变的球就成了2、4的分组，4个球的分组是不可能在最后一步得出答案的，因此就只能是从重边拿出一个到轻边，而从轻边拿出两个交换过来，让变化与未变的球成为3、3的分组3.使用标准球：这时天平上变成了一边2个、一边4个的情况，我们可以从4个标准球中取两个放上去，成为每边4个的情况。
分组情况：
A:两个排除在一边的球（重边1个、轻边1个）
B:三个放在天平上没有动过的球（重边2个、轻边1个）
C:三个移动过的球。（重边1个、轻边2个）
现在的可能性有三种：天平平衡了、轻重关系不变、轻重关系改变。
答案1 天平平衡有问题的球就在A组中。任取一个与标准球称一下就行了或是两个一起与两个标准球称（如果你非得知道到底轻了还是重了的话！）
答案2 轻重不变有问题的球就在B组中。可能性有二：重边2个中有一个偏重或轻边一个偏轻。再分组：从重边2个中选一个与轻边一个同两个标准球称。
我想，罪犯己经呼之欲出了吧。答案3的原理与方法与此相同，不再多说了。
（因编者疏忽本贴作者现已不详，见谅）
问题二：
其实，12球是怎么称出来的，那13个球是一样的。方法如下。
第一步：
天平两边各四个称。会有两种情况，一种平衡，一种不平。平衡见第二步A，不平见第二步B。
第二步A：
拿出剩下的五个球中的三个球，与天平上的八个中的任意三个称量一次。会有两种情况，一种平衡、一和不平。若平衡，问题解决；若不平，则一定能知道这个次球是轻了还是重了，且又知就在这三个当中，那么最后从中各取一个第三次称量，问题解决。
第二步B：
假设现在的情况是左边沉，右边轻。（反之一样）则拿走左边的三个球，并将剩下的球与右边的一个掉换，同时拿出第一次未称的五个球中的三个放入左盘，这样左右又都各有四个球了。此为第二次称量。
第三步
第二步B后，会有三种情况。
一、平衡：则说明，从左边拿下来的三个球中有次球，并从假设可知，这个次球是重的。问题解决。
二、仍然左边沉：说明先前所做的变化涉及的八个球（从左盘上拿下的三个，换上去的三个，及互换的两个，共计八个）全都正常，次球就在右盘的三个球中，且还能知道次球是轻的，问题解决。
三、变成右边沉了：说明左右掉换的两个球中有一个次球。
（fan 2001-08-25）
问题三：
我是把球分成三个为一组的，先讲讲几个“定律”：
I。如果两组平衡，那么只能说明两组中各有一个是坏的，或者两组都是好球；
II。不可能出现三组都相等而其中却有坏球，因为坏球只有两个（也就是说三组相等这三组都是好球）；
如果已知道坏球是轻还是重，那么下面III,IV,V也成立：
III。如果只剩下两组各三个球有嫌疑的话，而且知道有一组有1个或者0个是坏球，
而另一个组相对的有1个或者两个坏球，那么最多称三次就能确定哪两个是坏球了；
IV。如果知道某组中三个球有1个是坏球的话，那么称一次就行了。
V。如果知道某组中三个球有2个是坏球的话，那么称一次就行了。
现在开始解题：
把球分成三个为一组，共五组，标号分别为：
ABC
DEF
123
456
789
第一步：
左边放ABC
DEF,右边放123
456，现在会出现两种情况：左右平衡，左右不平衡①
我们先来研究平衡ABC+DEF=123+456，这时候有两个假设
1。789 中有两个是坏的
2。ABC
DEF中有一个坏球，123
456中也有一个坏球
第二步：左边放ABC
123，右边放DEF
456，也就是说把123跟DEF交换了一下再称
如果此时平衡ABC+123=DEF+456，联系第一步可得ABC=456,123=DEF，
。。那么第三步左边放789, 右边放123，
。。。。如果789=123,根据定律II,IV就知道再称两次就行了（结束：总共五次）
。。。。如果789＞123,
。。。。。。那么第四步左边789，右边ABC
。。。。。。。。如果789=ABC(也等于456）,这样123和DEF中都有1球轻了，根据定律IV只要再称两步就可以了（结束：总共六步）
。。。。。。。。如果789＞ABC,那么就是789中有两个重球，拿其中两个称一下就知道789中哪两个超重（结束：总共五步）；
如果此时不平衡ABC+123＞DEF+456，联系第一步可得ABC=123＞DEF=456，
。。只要第三步拿789跟其中任何一组比一下就知道是哪两组有问题，然后根据定律IV只要再称两步就可以了（结束：总共五步）；
好了，我们再回到第一步①：
如果当时不平衡ABC+DEF＞123+456这时有两种情况
1。有一边有一个坏球
2。有一边有两个坏球
这时第二步，也把DEF跟123交换一下
1。如果这时却平衡了ABC+123=DEF+456，说明789没问题，而DEF或是123中有一个球有问题，同样ABC或是456中有一个球也有问题
。。。。第三步把789跟123对比一下就知道哪两组有问题，而且总结前两步可以得出坏球究竟是重了还是轻了
。。。。然后根据定律IV只要再称两步就可以了（结束：总共五步）；
2。如果这时天平倒向另一边ABC+123＜DEF+456
。。。。这时我们知道ABC和456都没问题，而且123＜DEF所以第三步把789跟DEF和ABC分别比较一下就知道哪两个组（也可能只有一个组）有问题了。
。。。。根据定律IV最多再用两步（或者用定律V只用一步）就可以知道坏球是哪两个了（结果六步或五步）；
3。如果这时天平倒向不变ABC+123＞DEF+456，那么123=DEF,而且它们都是好球，789中最多只有一个坏球，
。。。。这时第三步左边拿789跟右边123作比较
。。。。。。平衡则789也没问题，而且不是ABC有两个重的,就是456有两个轻的，接下来只要789跟其中任何一组比较一下就知道哪个组有两个坏球，最后第五步确定坏球（定律V）。
。。。。。。如果789与123不平衡，比如789＞123,那么可以肯定789与ABC一样重，而且它们中都有一个是重球，所以这样根据定律IV再称两次就可以了（总结：五次）
所以我认为最多6次就可以了，也许会有漏洞，或许少于6步也行，如果上边的看不懂没关系啊（可能会有书写错误）。
（三国公子 2001-07-10）
分三组，每组5个球。暂时记为A(a1,a2,a3,a4,a5);B(b1,b2,b3,b4,b5);c(c1,c2,c3,c4,c5)
Step
1
称A与B，结果只能是A=B或者是A＜B(A＞B的情况与A＜B的类似，本质同）
一、若A=B
说明ABC中的异球组合为(002)或(110)
step
2
将c1c2与c3c4放在天平两边。
1、若c1c2＜c3c4
则c5异，c1c2或者c3c4中有一异球。说明ABC中的异球组合为(002)。
step
3
称c1与c5
(1)若c1=c5
则c1与c5异，over (step
3)
(2)若c1＞c5
则c2与c5异，over (step
3)
(3)若c1＜c5
则另一异球在c3c4中。
step 4
称c3与c4
若c3＞c4,则c3与c5异，over (step
4)
若c3＜c4,则c4与c5异，over (step
4)
2、若c1c2=c3c4
则c5为正常球。说明ABC中的异球组合仍为(002)或(110)。
step
3
称a1a2与a3a4。
(1)若a1a2=a3a4
则a1a2a3a4均为正常球。
step 4
称a5与c5
(11)若a5＜c5(a5＞c5的情况与此类似)
则a5异。ABC中的异球组合为(110)。
step 5
称b1b2与b3b4。
(111)若b1b2=b3b4，则b5异。
综上，a5与b5异，over (step
5)。
(112)若b1b2＜b3b4，则异球在b1b2中。
step 6
称a5与b1
若a5=b1,a5与b1异，over (step
6)。
若a5＜b1,a5与b2异，over (step
6)。
(12)若a5=c5
则说明a5也为正常球。ABC中的异球组合(002)。
c1c2与c3c4中各一个异球。
step
5
称c1与c5
得出一异球。
step
6
称c3与c5
得出另一异球。
over (step
6)。
(2)若a1a2＜a3a4
则a1a2或者a3a4中有一异球。ABC中的异球组合组合为(110)。
step 4
称a1与a2
(21)若a1＜a2
则a1为异。异球轻于正常球。
step
5
称b1b2与b3b4。
(211)若b1b2=b3b4，则b5异。
综上，a1与b5异，over (step
5)。
(212)若b1b2＜b3b4，则异球在b1b2中。
step
6
称a1与b1
若a1=b1,a1与b1异，over (step
6)。
若a1＜b1,a1与b2异，over (step
6)。
(22)若a1=a2
则异球在a3a4中。
step
5
称a3与a4,则重的那个球是异球。
假设a3＜a4,则a4异。
step
6
称b1b2与b3b4。
(221)若b1b2=b3b4，则b5异。
综上，a4与b5异，over (step
6)。
(222)若b1b2＜b3b4，则异球在b3b4中。
step
7
称a4与b3
若a4=b3,a5与b3异，over (step
7)。
若a4＞b3,a5与b4异，over (step
7)。
二、若A＜B
哇，我搞得太复杂了，看起来，呵呵，写得好累，不写了，连我自己都没有耐心一步一步看下去。。。
推理类似于上。
基本思路：step 2 称A与C
假设，A＜C
则ABC中的异球组合为(200)或(011)
方法类似于上。但由于天平此时的轻重标示结合以后的推理，实际上可以省下一步。所以一共还是最多只有7步。
（bete 2001-07-10）
