海盗分赃（答案）

问题一：

 

我们先要对海盗们作一些假设。

1)每个海盗的凶猛性都不同，而且所有海盗都知道别人的凶猛性，也就是说，每个海盗都知道自己和别人在这个提出方案的序列中的位置。另外，每个海盗的数学和逻辑都很好，而且很理智。最后，海盗间私底下的交易是不存在的，因为海盗除了自己谁都不相信。

2)一枚金币是不能被分割的，不可以你半枚我半枚。

3)每个海盗当然不愿意自己被丢到海里去喂鱼，这是最重要的。

4)每个海盗当然希望自己能得到尽可能多的金币。

5)每个海盗都是现实主义者，如果在一个方案中他得到了1枚金币，而下一个方案中，他有两种可能，一种得到许多金币，一种得不到金币，他会同意目前这个方案，而不会有侥幸心理。总而言之，他们相信二鸟在林，不如一鸟在手。

6)最后，每个海盗都很喜欢其他海盗被丢到海里去喂鱼。在不损害自己利益的前提下，他会尽可能投票让自己的同伴喂鱼。

现在，如果有10个海盗要分100枚金币，将会怎样？

要解决这类问题，我们总是从最后的情形向后推，这样我们就知道在最后这一步中什么是好的和坏的决定。然后运用这个知识，我们就可以得到最后第二步应该作怎样的决定，等等等等。要是直接就从开始入手解决问题，我们就很容易被这样的问题挡住去路："要是我作这样的决定，下面一个海盗会怎么做？"

以这个思路，先考虑只有2个海盗的情况（所有其他的海盗都已经被丢到海里去喂鱼了）。记他们为P1和P2，其中P2比较凶猛。P2的最佳方案当然是：他自己得100枚金币，P1得0枚。投票时他自己的一票就足够50%了。

往前推一步。现在加一个更凶猛的海盗P3。P1知道--P3知道他知道--如果P3的方案被否决了，游戏就会只由P1和P2来继续，而P1就一枚金币也得不到。所以P3知道，只要给P1一点点甜头，P1就会同意他

的方案（当然，如果不给P1一点甜头，反正什么也得不到，P1宁可投票让P3去喂鱼）。所以P3的最佳方案是：P1得1枚，P2什么也得不到，P3得99枚。

P4的情况差不多。他只要得两票就可以了，给P2一枚金币就可以让他投票赞同这个方案，因为在接下来P3的方案中P2什么也得不到。P5也是相同的推理方法只不过他要说服他的两个同伴，于是他给每一个在P4方案中什么也得不到的P1和P3一枚金币，自己留下98枚。

依此类推，P10的最佳方案是：他自己得96枚，给每一个在P9方案中什么也得不到的P2，P4，P6和P8一枚金币。

下面是以上推理的一个表（Y表示同意，N表示反对）：

 

P1 P2

0　100

N　Y

 

P1 P2 P3

1　0　99

Y　N　Y

 

P1 P2 P3 P4

0　1　0　99

N　Y　N　Y

 

P1 P2 P3 P4 P5

1　0　1　0　98

Y　N　Y　N　Y

 

……

 

P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10

0　1　0　1　0　1　0　1　0　96

N　Y　N　Y　N　Y　N　Y　N　Y

 

　　（施贵宝  2001-10-30 21:49:26　转）

 

问题二：

 

为了方便叙述，我们换一种方式，即从编号为最后的一个海盗开始分，结论毫无疑问是一样的，只是这样好说一点。

先从有201海盗开始说，这时201号海盗要分的话一定会分给剩下的奇数号海盗一人一个，为什么呢，因为他知道等到200号来分的话，他会分给所有偶数号海盗一人一个。所以如果201号海盗仍然还是分给编号是2n(n=1,2,...100)的话，200号海盗凭什么要答应？他完全可以反对，然后自己再来分，这对他来说完全没有半点利益上的损失。好了，只要201号海盗分给2n-1(n=1,2,...100)这些海盗一人一个，他的建议必然会获得后面的通过，于是，他便有恃无恐，他对前面所有海盗的建议全都会反对,除非有人分给他。

好，再说有202个海盗的时候，202号海盗就一定要将金币分给2n(n=1,2,...100)与201中的任意100个海盗，因为201号海盗会全分给2n-1(n=1,2,...100)他们，所以202号只有将金币分给这些海盗才能获得这100个人的同意。“哈哈”202号想到这里的时候大笑：“我也有恃无恐了，前面不论谁的建议我全都反对，除非有人分给我，反正我的建议一定会被通过的。”

再看203号，他是无论怎么分都最多有100个人同意，达不到半数，所以没办法，他只好无条件同意204号的。

204号只有将金币分给2n-1(n=1,2,...100)与201，202中的任意100人，才能得到这100个人的同意，加上他自己和必然会同意他的203号，正好有102个人，达到半数，于是他的意见将被通过。于是203和204也变得有恃无恐起来，对于前面所有人的建议他们也会全部反对，除非有人分给他。

好了，其他的就可以推了：

从205-207都必须无条件同意208的建议，而208只有将金币分给2n(n=1,2,...100)与201、202、203、204中的任意100人，才能获得恰好104个人的同意。

从209-215都必须同意216的，而216又必须将金币分给2n-1(n=1,2,...100)与201-208中任意100人，才能确保有108人同意。然后这些人都不会同意前面人的意见，除非有人分给他门。

从217-231必须同意232号的，232必须将金币分给2n(n=1,2,...100)与201-216中的任意100人，才能确保有116人同意。然后这些人都不会同意前面人的意见，除非有人分给他门。

从233-263必须同意264的，264又必须将金币分给2n-1(n=1,2,...100)与201-232中的任意100人才能确保有132人同意。然后这些人都不会同意前面人的意见，除非有人分给他门。

从265-327必须同意328的，328必须将金币分给2n(n=1,2,...100)与201-264中的任意100人才能确保有164人同意。然后这些人都不会同意前面人的意见，除非有人分给他门。

从329-455必须同意456的，456又必须将金币分给2n-1(n=1,2,...100)与201-328中的任意100人才能确保有228人同意。然后这些人都不会同意前面人的意见，除非有人分给他门。

而最后的44个海盗无论怎么分，都无法获得250个海盗的同意，所以他们将被扔掉。

　　（大力　2001-06-08）

 

问题三：

 

首先指出一个：当有2个时，2号无论怎么分1号都不会同意，因此2号必须同意3号的分法，所以当有1、2、3三个海盗时，3号海盗可以独吞全部！

然后是4号海盗，他要想得到多数必须有3人同意才行，又因为3号不可能同意（他即可以独吞，又可让4好死），所以4号只要给1、2号一点甜头就行了。结果是1、1、0、8。

以此类推：

5号：0、2、1、0、7或2、0、1、0、7

6号：1、1、0、1、0、7（因为2和1都有可能在5的时候没有分到，所以得1个是即得利益。）

7号：0、0、1、2、1、0、6或0、2、1、0、1、0、6或2、0、1、0、1、0、6

8号：1、1、0、1、0、1、0、6

9号：x、x、1、x、1、x、1、x、5（然后分给任意某个x成员2个）

10号：1、1、0、1、0、1、0、1、0、5

……

18号：1、1、0、1、0、1、0、1、0、1、0、1、0、1、0、1、0、1

19号：x、x、1、x、1、x、1、x、1、x、1、x、1、x、1、x、1、x、0（然后分给任意x成员2个）

20号的分法是关键！

20号：x、x、0、x、0、x、0、x、0、x、0、x、0、x、0、x、0、x、x、0（然后给任意10个x成员每人分1个）

因为总共有11个x成员，所以他们无法知道20号究竟会给谁，因此，当21号分得时候，他们这11个成员当中只要有人被分到，那么他一定会同意（因为他并不确定20号是否会分给他），而剩下的9个成员只要被分到也一定会同意（因为20号来分的话他们将一无所有），于是产生了奇妙的现象，21号只要将10个金子平均分给任意10个人，都将被通过！

　　（大力　2002-03-22）