浅谈筛素数

假设一个数N，我们现在要求1-N之间哪些数是素数，那些不是素数？

　下面介绍几种解法（当然打表就免了吧）

（1）最简单最暴力，也是最慢的解法：

　　枚举 2-N/2 之间的所有数试试可不可以与 N 相除没有余数。

　　有人说：为啥不枚举N。-----自己悟吧；

#include<stdio.h>
int main()
{
    bool flag;
      int n;
      while(scanf("%d",&n)==1)
      { 
          for(i=2;i<=n/2;i++)if(n%i==0)
          {
              flag=1;
              break;
          }
        if(flag==0)printf("YES\n");
        else  printf("NO\n");
      }
}

（2）最普通最常见的解法：

　　枚举 2-sqrt(N) 之间的所有数试试可不可以与 N 相除没有余数。

　　为什么要枚举到sqrt(N)呢？

　　证明：因为对一个数n,如果他能分解成n=pq,那么pq里必然有一个大于等于根号n一个小于等于根号n,也就是说一个合数必然有一个因子是小于等于根号n的，所以对一个数n,只要检验他有没有小于等于根号n的因子就可以了。

　　所以代码就好写了.

#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
int main()
{
    bool flag;
    int n,x;
    while(scanf("%d",&n)==1)
    {
        x=sqrt(n);
        for(i=2; i<=x; i++)
            if(n%i==0)
            {
                flag=1;
                break;
            }
        if(flag==0)printf("YES\n");
        else  printf("NO\n");
    }
}

 

（4）普通筛选法--埃拉托斯特尼筛法：

　　听名字，哇哦，如此高大上，一定特别好用吧；

　　WOC！枚举每一个质因子，能与它乘的都记录为不是。

　　基本思想：素数的倍数一定不是素数
　　实现方法：用一个长度为N+1的数组保存信息（0表示素数，1表示非素数），先假设所有的数都是素数（初始化为0），从第一个素数2开　始，把2的倍数都标记为非素数（置为1），一直到大于N；然后进行下一趟，找到2后面的下一个素数3，进行同样的处理，直到最后，数组中依然为0的数即为素数。

　　说明：整数1特殊处理即可。

　　prime[]用来保存得到的素数 prime[] = {2,3,5,7,11,.........} tot 是当前得到的素数的个数 check ：0表示是素数  1表示合数。

memset(check, 0, sizeof(check));
int tot = 0;
for (int i = 2; i <= n; ++i)
{
  if (!check[i])
  {
    prime[tot++] = i;
  }
  for (int j = i+i; j <= n; j += i)
  {
    check[j] = 1;
  }
}

 

　　目测或者手动模拟的话，明显有许多冗余（就是重复的操作），会消耗不少时间。

　　有没有啥其他的改进方法呢？----下面有请出我们的欧拉吧。

（4）欧拉线性筛：

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int prime[];
int check[];
int tot = 0;
memset(check, 0, sizeof(check));
for (int i = 2; i < MAXL; ++i)
{
    if (!check[i])prime[tot++] = i;
    for (int j = 0; j < tot; ++j)
    {
        if (i * prime[j] > MAXL)break;    //超过了要所求的数，计算就没必要了； 
        check[i*prime[j]] = 1;            //可以被乘出来，就一定不是素数咯。 
        if (i % prime[j] == 0)break;    //这个数被它%等于0了，说明已经出现了重复，break。 
    }
}
// check中没有被标记过的就是素数咯。 

prime[]数组中的素数是递增的,当i能整除prime[j]，那么i*prime[j+1]这个合数肯定被prime[j]乘以某个数筛掉。因为i中含有prime[j],prime[j]比prime[j+1]小，即i=k*prime[j]，那么i*prime[j+1]=(k*prime[j])*prime[j+1]=k’*prime[j]，接下去的素数同理。所以不用筛下去了。因此，在满足i%prime[j]==0这个条件之前以及第一次满足改条件时,prime[j]必定是prime[j]*i的最小因子。