P3916 图的遍历

题目理解

这道题目要求我们对一个有向图进行反向遍历，对于每个节点v，找出从v出发能够到达的编号最大的节点。题目中的关键点包括：

1. 图的构建：给定的有向边关系构成一个有向图

2. 遍历目标：对于每个节点，找到它能到达的最大编号节点

3. 输出要求：输出每个节点对应的最大可达节点编号

解题思路

1. 图的表示

使用邻接表（vector<int> g[N]）来存储图的边关系，但是这里采用了反向建图的方式：

• 原始边是u→v，但我们存储为v→u

• 这样可以从大编号节点开始遍历，利用贪心思想优化效率

2. 反向DFS策略

核心思想是从编号最大的节点开始反向DFS：

1. 按编号从大到小遍历每个节点

2. 对于每个未处理的节点i，进行DFS

3. 在DFS过程中，标记所有能到达i的节点，并将它们的res值设为i

4. 这样确保每个节点的res值是其能到达的最大编号

3. 贪心优化

• 由于我们从大编号开始处理，一旦一个节点被标记，它的res值就已经是当前能得到的最大值

• 这样可以避免重复处理，提高效率

代码注释详解

#include<bits/stdc++.h>
#define N 100005 // 定义最大节点数
#define endl "\n"
using namespace std;

int n, m, t; // n:节点数, m:边数, t:当前处理的最大编号
vector<int> g[N]; // 反向邻接表存储图
int vis[N]; // 访问标记数组
int res[N]; // 存储结果的数组

// 深度优先搜索
void dfs(int x) {
    vis[x] = 1; // 标记当前节点已访问
    for(int v : g[x]) { // 遍历所有邻接节点
        if(vis[v] == 0 && res[v] == 0) { // 如果邻接节点未被访问且未被处理
            res[v] = t; // 设置结果为当前最大编号t
            dfs(v); // 递归访问
        }
    }
}

int main() {
    cin >> n >> m; // 输入节点数和边数
    while(m--) { // 处理每条边
        int u, v;
        scanf("%d %d", &u, &v); // 输入边u→v
        g[v].push_back(u); // 反向存储边v→u
    }

    // 从大编号到小编号依次处理
    for(int i = n; i >= 1; i--) {
        t = i; // 当前处理的最大编号
        if(res[i] == 0) { // 如果该节点尚未处理
            memset(vis, 0, sizeof(vis)); // 重置访问标记
            dfs(i); // 进行DFS
        }
        res[i] = max(res[i], t); // 确保自身也被处理
    }

    // 输出结果
    for(int i=1; i<=n; i++) 
        printf("%d ", res[i]);

    return 0;
}

复杂度分析

1. 时间复杂度：

   • 反向建图：O(m)

   • DFS处理：每个节点和边最多被访问一次，O(n + m)

   • 总体：O(n + m)

2. 空间复杂度：

   • 邻接表存储：O(n + m)

   • 访问数组和结果数组：O(n)

总结

这道题目考察了图的遍历算法和贪心思想的应用。关键点在于：

1. 反向建图的巧妙设计

2. 从大编号开始处理的贪心策略

3. 通过DFS标记所有能到达当前最大编号的节点

4. 避免重复处理以提高效率