周报1.24—1.30

这周三场牛客比赛加一块还没有到两位数的AC，难以言表，只能学学dp过过日子了。

其实在这之前我以为dp很难，不太会接触到，结果场场有dp，所以被迫营业，强行啃了点dp。

dp相对于常规算法来说，效率会高出一截，原因就在于他通过储存计算过的数据，来避免重复的操作，因此大大简化了程序，但是dp也有限制，只有在当第k项成立时，第k-1项也成立的情况下，dp才能发挥作用。

首先是第一道题，原题如下：

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/23106/A
来源：牛客网

在打越钢太郎的著名解谜游戏系列《极限脱出》的第一作《九小时九个人九扇门》中，有这样一个有趣的设定：游戏中，9位主人公被困在一座大型的豪华巨轮中，每个人手上都有一个奇怪的手表，手表上有一个数字，9个人的数字分别是1−9；在巨轮中，还有很多紧闭的数字门，每扇数字门上也有一个1−9的数字，要想打开数字门逃出生天，主角们必须要满足一个奇怪的条件：

k个人能够打开门上数字为d的一扇数字门，当且仅当这k个人的腕表数字之和的数字根恰好为d。

一个数字的数字根是指：将该数字各数位上的数字相加得到一个新的数，直到得到的数字小于10为止，例如，149的数字根为149=>1+4+9=14=>1+4=5，故149的数字根为5。我们约定，小于10的数字，其数字根就为其本身。

例如，如果游戏中的一宫（手表数字为1）、四叶（手表数字为4）、八代（手表数字为8）三人组合在一起，就可以打开编号为4的数字门，这是因为1+4+8=13，而13的数字根为4。

现在，你是游戏的主角，淳平，你知道船上包括自己在内的n个人的手表数字，为了分析局势，你想要计算出可以打开1−9号门的人物组合有多少种，你可以完成这项任务吗？

 

此题首先要了解到，数字根等于它对9取模的值，然后解题。

在解题的最开始，需要做的事情就是判断题目的类型，因为本文主题是dp问题，所以这道题可以用dp（bushi。通过审题发现，如果用常规解法，组合情况过多，其中重复计算了很多遍数字和，而当我们将单个数字作为一项，那么就会产生选取这个数字和不选取这个数字两种情况，而每种情况所对应的前一项都是满足条件的相似结构，因此本题采用dp解法。

本题类似于背包问题，虽然当时我连数字根是对9取模都没发现，寄。

然后是下一道题，原题如下：

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/23478/B
来源：牛客网

智乃来到水果摊前买瓜，水果摊上贩卖着{N}个不同的西瓜，第i{i}i个西瓜的重量为wi。智乃对于每个瓜都可以选择买一个整瓜或者把瓜劈开买半个瓜，半个瓜的重量为wi/2。

也就是说对于每个西瓜，智乃都有三种不同的决策：

1. 购买一整个重量为wi的西瓜
2. 把瓜劈开，购买半个重量为wi/2​​的西瓜
3. 不进行购买操作

为了简化题目，我们保证所有瓜的重量都是一个正偶数。

现在智乃想要知道，如果他想要购买西瓜的重量和分别为{k=1,2,3...M}时，有多少种购买西瓜的方案，因为这些数字可能会很大，请输出方案数对{10^9+7}取余数后的结果。

 

最惨的不是完全没有思路（比如说上一道），而是知道了这道题用的是dp，也知道了分哪几种情况，但是代码在心口难开。

首先，这道题用常规方法显然不行，而我们对每个瓜都可以进行一次选/不选/选1/2的决策，而每次决策的前一项也都是相同的决策，因此能够将这些数据储存，避免重复计算，即采用背包问题的算法。

这道题，笔者当时没想明白我要做一个什么样的数组，然后看到了题解，其中的dp[i]表示第i个西瓜时的重量，而对每一项，进行一次分类，分别对大于西瓜重量、大于1/2西瓜重量以及小于1/2西瓜重量，递推前一项的数据，说起来是挺好懂的，然而笔者愣是折腾一小时没整出来。

 

本来是有第三题的，但是一直到我写这篇文章的时候，还没有搞懂这道题的解法，挖个坑，希望下周能搞明白。