树链剖分

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大意

树链剖分，是一种将一棵树转化为线性的一种算法，可以方便地计算一颗子树的区间和。

前置知识

• 线段树
• 多叉树

树链剖分需要两次dfs操作，第一次用于更新深度广度，第二次用于真正的剖分。

第一次搜索代码

void first_dfs(int index,int fath){
 deps[index] = deps[fath]+1; // 该点深度等于父亲深度+1
 fa[index] = fath; // 设置该点父亲
 size[index] = 1; // 设置当前儿子数量
 for(auto s:edge[index]){ // 遍历每一条边
  if(s == fath)continue; // 不能搜回去
  first_dfs(s,index); // 继续向下搜索
  size[index] += size[s]; // 更新儿子数量
  if(size[hson[index]] < size[s])
   hson[index] = s; // 设置重儿子，以方便重链更新。
 }
}

第二次搜索代码

void treecut(int index,int topp){
 top[index] = topp; // 当前链上最高的点
 id[index] = ++liancnt; // 当前点新建一条链
 rev[liancnt] = index; // 反向索引更新
 if(hson[index] == 0)return; // 如果为叶子节点则返回
 treecut(hson[index],topp); // 沿重儿子向下dfs
 for(auto s:edge[index]) // 遍历每一条边
  if(s!=hson[index] && s!=fa[index]) // 不是重儿子 且 没有往回搜索
   treecut(s,s); // 搜索轻儿子
}

此时，树链剖分的结果就会保存在 rev 数组中（将一棵树变为线性的结果）。

树链剖分的另一个作用便是求最近公共祖先（LCA）。

inline int LCA(int a,int b){
 while(top[a] != top[b]){ // a与b不在一条重链上
  if(deps[top[a]] > deps[top[b]]) // 链顶深度较深的点向上
   a = fa[top[a]]; // 注意是 fa[top[a]]
  else
   b = fa[top[b]];
 }
 return deps[a]<deps[b] ? a:b; // 深度较浅的就是LCA
}

查询一条链的和

我们需要先写几个辅助函数

只有一条链上的值可以用线段树直接加！

单链加（一条重链上的两个点及之间加）

inline void add(long long x,long long y,long long val){
 if(deps[x]>deps[y]) // 判断高低情况
  Seg::updateSegment(id[y],id[x],val); // 直接加
 else
  Seg::updateSegment(id[x],id[y],val);
}

单链查（一条重链上的两个点及之间查询）

inline long long query(long long x,long long y){
 if(deps[x]>deps[y]) // 判断高低情况
  return Seg::querySegment(id[y],id[x]); // 直接查
 else
  return Seg::querySegment(id[x],id[y]);
}

简单来说就是在LCA时加链上的内容，所以和LCA的代码没有很大的区别。

代码如下：

inline void chainadd(long long a,long long b,long long val){
    while(top[a] != top[b]){
  if(deps[top[a]] > deps[top[b]])
   add(top[a],a,val), // 这里
   a = fa[top[a]];
  else
   add(top[b],b,val), // 这里
   b = fa[top[b]];
 }
 add(a,b,val); // 这里千万不要忘！
 return;
}

更新链

思路相同，不再赘述。

inline long long chainquery(long long a,long long b){
 long long ans=0;
 while(top[a] != top[b]){
  if(deps[top[a]] > deps[top[b]]){
   ans += query(top[a],a);
   a = fa[top[a]];
  }
  else{
   ans += query(top[b],b);
   b = fa[top[b]];
  }
 }
 ans += query(a,b);
 return ans;
}

查询子树和

根据上文所提及的特性（树中的任意一颗子树在剖分完成的区间中连续），则可以写出。

可能唯一的问题是定位区间，但是在第一次 dfs 时就已经初始化了每颗子树的 size ，所以可以 O(1) 定位区间。

inline long long queryTree(long long x){
 return Seg::querySegment(id[x],id[x] + size[x] - 1);
}

inline long long addTree(long long x,long long y){
 Seg::updateSegment(id[x],id[x] + size[x] - 1,y);
}

模板题目及解析

P3379-【模板】最近公共祖先-LCA

这道题一看就是裸的树剖，直接打板子就行。

树链剖分完成之后，剖分完成的树具有一些性质，利用这些性质我们可以进行树上解题。

P3384-【模板】轻重链剖分/树链剖分

剖分完成的树序列的其中一个性质：树中的任意一颗子树在剖分完成的区间中连续。

另一个显而易见的性质： 一条链在剖分完成的区间中连续。

所以，树链剖分结合线段树，就可以进行树上求和等操作。

线段树的值需要先进行映射，这样才能将树链剖分的优势发挥出来。

for(long long i=1;i<=n;i++)
 t_indexed[i] = t[rev[i]]; // 通过rev数组映射
initSegmentTree(1,n,t_indexed);