ST表

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大意

ST 表是一种静态数据结构，用于快速查询区间RMQ 问题。

前置知识：

• 位运算

讲解

数据结构

ST 表的结构如下

若原数据如下：

1	2	3	4	5

则 ST 表（最大值）应该是

1	2	3	4	5
1	2	3	4	5
2	3	4	5	-1
4	5	-1	-1	-1

很懵吗？其实仔细观察，第 \(j\) 行第 \(i\) 列的值维护的是一个区间 \([i,i+2^{j-1})\) 中的最大/最小值。

那它应该如何知道一段区间呢？很简单，只需要将两个重叠区间再次求值就行，正是因为这一点，ST表只能用于可重复贡献问题。

有关可重复贡献问题

其实很简单，若一个值被重复参与贡献答案还不影响答案，则这是个可重复贡献问题。

举个例子， 求区间中的 $ max $ 是可重复贡献问题，而求区间和则不是。

因为 $ \max(a,b,b,b,b,b,b,b,b,b,b,b,b,b,b,b,b,b) $ 和 $ \max(a,b) $ 产生的结果是一样的，而 \(a+b+b\) 在 \(b\) 不等于 \(0\) 时显然不等于 \(b\) 。

构造

根据上文我们知道，第 \(j\) 行第 \(i\) 列的值维护的是一个区间 \([i,i+2^{j-1})\) 中的最大/最小值。

所以，要得到当前区间的最大/最小值，需要两个区间参与运算。

可以得到状态转移方程为 \(ST_{i,j}=\max(ST_{i-1,j},ST_{i-1,j+2^{i-1}});\)

for(register int i=1;i<log2(n)+1;i++)
  for(register int j=0;j<n;j++)
    ST[j][i]=max(ST[j][i-1],ST[j+(1<<(i-1))][i-1]);

查询

在构造ST表后，肯定会查询区间最大/小值（这不是废话吗）。

首先可以知道要互相覆盖的两个区间长度应该为 $ 2^{\log{r-l+1}} $ (这是在ST表中小于等于当前区间的最长长度)

然后分别构造出另外两个区间 $ [l,l+2^{length}] $ 和 $ [r-2^{length}+1,r] $，在ST表中对应的区间是 $ ST_{l,length} $ 和 $ ST_{r-2^{length}+1,length} $

 len=lgg[r-l+1];
 tppp=max(sttable[l][len],sttable[r-(1<<len)+1][len]);

P3865-【模板】ST 表

纯粹的模板题目，应该不用说。

P8818-[CSP-S 2022] 策略游戏

多开几个ST表。