KMP

一、问题

​ 给出两个字符串 \(s_1\) 和 \(s_2\)，若 \(s_1\) 的区间 \([l, r]\) 子串与 \(s_2\) 完全相同，则称 \(s_2\) 在 \(s_1\) 中出现了，其出现位置为 \(l\)。

现在请你求出 \(s_2\) 在 \(s_1\) 中所有出现的位置。

in：luogu P3375 【模板】KMP字符串匹配

二、常规方法

​ 对于平常的字符串匹配，我们一般会这样：

• 如果\(s1[i] = s2[j]\rightarrow i = i + 1,j = j + 1\)

• 否则\(i = i - j + 2, j = 1\)

  即最平常的暴力算法

​ 然而这种算法最坏是\(O(n\times m)\)的，无法接受

三、优化（即KMP)

我们可以先举个对上面方法非常不友好的栗子：

​ \(s_1 = {AAAAAAB}\)

​ \(s_2 = AAAB\)

每次\(s_2\)都要遍历到\(B\)才能发现不能匹配，显然很耗时间

从上面我们可以看出，因为\(B\)和\(A\)仅仅这一个不能匹配，便浪费了前面的\(3\)次匹配

那如何把前面的\(3\)次匹配利用起来呢？

我们可以发现，前面的\(AAA\)是匹配好的，为以示区分，记为\(A_1A_2A_3\)

\[A_1A_2A_3\ ?\\\Downarrow\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A_1A_2A_3 \]

如果能够只用判断没有判断过的 \(?\) 是否为\(A\)，那就会让复杂度减小很多

即我们在匹配失败(后记为失配)后如何移动下面的字符串的指针，这尤为重要

假使我们知道了这些数值，我们便可以在每一次失配的时候将指针向前跳。

那我们如何求这个指针跳跃的数组\(jump\)呢（简称失配数组）

其实\(jump_i\)就是去求在\(~1\to i~\)中最长的前缀等于后缀的长度

下面给一组例子：

下标	1	2	3	4	5	6	7
模式串	A	B	A	B	A	B	C
失配数组	0	0	1	2	3	4	0
前后缀	无	无	A	AB	ABA	ABAB	无

至于求法不太说得清楚，可以看一下下面的代码（抱歉）

#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;
const int NN = 1e6 + 8;
string s1,s2;
int jump[NN];
int main(){
	cin>>s1>>s2;
	s1 = ' ' + s1;s2 = ' ' + s2;
	if(s1.size() < s2.size())swap(s1,s2);
	for(int i = 2, j = 0; i < s2.size(); ++i){
		while(j > 0 && s2[i] != s2[j+1]) j = jump[j];//如果说不能匹配就跳回之前能匹配的位置
		if(s2[i] == s2[j+1]) ++j;//否则j指针随i指针的右移而右移
		jump[i] = j; 
	}//求失配数组
	for(int i = 1,j = 0; i < s1.size(); ++i){
		while(j > 0 && (j == s2.size() || s1[i] != s2[j+1])) j = jump[j];//失配就调回该进行匹配的地方
		if(s1[i] == s2[j+1]) ++j;
		if(j == s2.size()-1) printf("%d\n",i-s2.size()+2);
	}//
	for(int i = 1; i < s2.size(); ++i){
		printf("%d ",jump[i]);
	}
}