摘要：这一章节将介绍一系列典型的微积分问题(求极限、级数、定积分、导数、重积分等)在Matlab中的求解。 首先关于极限： (1) 数列极限： 给出下面三段例程。 求解数列极限的limit函数参数说明：可以看到该函数可以有三个参数也可以有两个参数，对于三个变量(比如说第二个例程)，第一个参数是数列的通项，
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摘要：基于随机变量一系列最基本的概念，我们便会开始探讨一些随机变量函数的期望、多个随机变量和的期望、多个随机变量乘积的期望。 这里我们就简单的讨论后两个期望。 这两个问题可以基于如下的一个现实模型： 同时掷n个骰子(或者说掷骰子n次)，n个筛子的得到点数的和的期望是多少？n个筛子得到点数的乘积的期望是多少
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摘要：写在前面：写在前面的当然是对大天朝教材的吐槽啦。 曾记否，高中所学虚数和复平面的概念，如此虚无的概念到了大学一门叫《模拟电子技术》的课程中居然明目张胆的开始进行计算！ 曾记否，高中的指对运算，他们老师由于不想说话就向我们扔了一个自然对数e！ 其实很多人觉得数学抽象、晦涩而且无章可循，其实这都是假想，
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摘要：基于基本的极限分析方法(诸多的无穷小以及洛必达法则)，我们能够得到推导出一些表面上看不是那么显然的式子，这些极限恒等式往往会在其他的推导过程中用到，其中一个例子就是概率论中的极限定理那部分知识。
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摘要：这一章节我们主要讨论定义在R^n空间上的向量之间的关系，而这个关系概括来讲其实就是正交，然后引入正交投影、最佳逼近定理等，这些概念将为我们在求无解的线性方程组Ax=b的最优近似解打下基石. 正交性： 先举个最简单的例子，在平面中，两个二维向量的点乘如果为0，那么我们可判定两个向量互相垂直，那么实际上
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摘要：二项式系数的概念给人最直观的概念就是，这里有n个物品，分成两组，其中一组的数量是i的所有组合情况。 它的证明过程既可以从组合分析的角度，也可以从数学归纳的角度，由于数学归纳涉及到计算比较困难，我们这里就呈现二项式定理的数学归纳的证明方法。 定理证明的过程中用到了如下的二项式系数恒等关系，是基于递推求
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摘要：偏导数本质上就是一元微分学向多元函数的推广。 关于定义域的开域、闭域的推广： 其实这个定义本质上讲的就是xoy面上阴影区域的最外面的一周，只不过这里用了更加规范的数学语言。 二次函数的图形、层曲线(等值曲线)： 一元函数的定义域在x轴上，函数图像在xoy面上；二元函数的定义域在xoy面上，函数图像在
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摘要：基于之前章节的铺垫，我们这里能够很容易的引出特征向量和特征值的概念。 首先我们知道n x n矩阵的A和n维向量v的乘积会得到一个n维的向量，那么现在我们发现，经过计算u=Av，得到的向量u是和v共线的，就是说向量v乘以矩阵A得到的向量u相对于向量v“拉伸”了，即满足如下的一个式子： Av =λv=u
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摘要：所谓微分法其实就是我们所熟悉的导数，它是一种无限分割的方法，同积分法一样，它们是处理曲线和曲面的有利工具，也是一门很伟大的自然语言。微分方程就是一种名副其实的描述自然的语言。 同样这里如果取单侧导数，那么能够证明该点单侧具有连续型。通过原命题与逆否命题的等价性我们也能够看到，函数在某处不连续，在该处
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摘要：概率论自身有一套很深的理论体系，读过《几何原本》的读者会知道，伟大的欧几里得之所以伟大，是因为它基于几条最基本的公理，推导除了整个欧式几何学的理论体系，同样，在概率论这里，一切的推导都是源于下面的概率论公理。 首先是对概率的定义： 能够看到概率本身的定义就是基于极限的，是理想的。 基于这几条公理，就
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摘要：基于我们在线性代数中学习过的知识，我们知道解线性方程组本质上就是Gauss消元，也就是基于增广矩阵A的矩阵初等变换。关于数学层面的内容这里不做过多的介绍，这里的侧重点是从数值计算的角度来看这些常见的问题。 那么基于Gauss消元的算法，我们将会很好理解如下的Matlab代码： for j = 1:n
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摘要：平面曲线的长度： 积分的重要作用体现在处理曲线和曲面。 在这里我们讨论平面中一条用参数形式表达的曲线：x=f(t),y=g(t),a≤t≤b. 如图。 y=f(x)形式的弧长计算： 之前我们讨论过平面笛卡尔系下参数形式的弧长公式，现在对于一般的y=f(x)的形式，我们可以将其等价转化成参数形式： 令
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摘要：(1) are函数 功能：求解Riccati方程的解 Riccati方程的一般形式：A^TX+XA-XBX+C=0 (2)blkdiag函数 函数功能：a=blkdiag(a1,a2,a3,…)表示生成的矩阵a是一个以a1,a2,a3…为对角线元素的矩阵
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摘要：标准KMP算法用于单一模式串的匹配，即在母串中寻求一个模式串的匹配，但是现在又存在这样的一个问题，如果同时给出多个模式串，要求找到这一系列模式串在母串存在的匹配个数，我们应该如何处理呢？ 基于KMP算法，我们能够想到的一个朴素算法就是，枚举这多个模式串，然后进行多次KMP算法，这个过程中完成计数，假
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摘要：一阶逻辑这个一块属于离散数学的内容，它的功能就是将自然事物给符号化以为体系的确立奠定语言基础。 回想无论学汉语还是英语的语法，我们都是从句子的主干学起，那么数学作为一门语言，它的句子当然也有所谓的主干。 个体词：个体次是所研究对象可以独立存在的具体的或者抽象的客体。具体而特定的客体个体成为个体常项，
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摘要：今天我们开始简单的介绍数学分析这门课程，参考教材是Walter Rudin著的《Principles of Mathematical Analysis》 对于一门新课你最开始可能会问的是：这门课讲述了一个什么故事？简单的翻阅了一下这本书的目录，数学分析这一块，里边有微积分里的东西：微分法、级数、多元
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摘要：绘图功能最基本的命令行:plot(y). 二维图形： (1) >> y=rand(100,1); >> plot(y) y是随机的实向量，以生成y的索引为横坐标，y为纵坐标绘图 (2)plot(x,y): 第一个作为横坐标，第二个变量作为纵坐标 >> x=0:0.01*pi:pi; >> y=sin
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摘要：条件概率中的三个命题： 下面我们分条来解读一下这三个命题。
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摘要：在许多生产时间问题中，我们根据已知条件往往会列出一个一元非线性方程，一个最典型的例子就是银行存款的问题，由于其利息需要基于前一年的本息和，因此列出来的方程x的指数往往是高次的。还有物理问题当中一系列用微分方程导出的一元非线性方程。因此如何求解一元非线性方程，是计算数学要解决的重要问题之一。 牛顿法：
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摘要：在关于离散型随机变量函数的期望的讨论中，我们很容易就得到了如下的等式： 那么推广到连续型随机变量，是否也存在类似的规律呢？ 即对于连续型随机变量函数的期望，有： 这里给出一个局部的证明过程，完整的证明过程书中留在了理论习题当中。
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摘要：之前关于二重积分的笔记，介绍了二重积分概念的引入，但是对于它的计算方法(化为累次积分)，介绍的较为模糊，它在《概率论基础教程》中一系列的推导中发挥着很重要的作用。 回想先前关于二重积分的几何含义，求解一个曲顶圆柱的体积，我们用如下的符号进行定义： 现在我们通过另外一条路径，再次得到几何体的体积，便可
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摘要：一个基本的输出语句： 一个初学者用eclipse的小错误： 红框表示改程序在运行当中，如果多次点击运行程序的按钮Run，则其实会并行的执行很多个程序，这一点与c/c++的ide:codeblock是不同的，你同时运行的多个程序可以通过这一栏的“小屏幕”按钮进行查看。 变量、赋值： 浮点数： 考虑这样
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摘要：1.变量的命名规则(类似C语言)： (1) 区分大小写 (2) 变量长度不超过31位 (3) 变量名以字母开头，变量名中包含字母、数字、下划线，不可以用标点 2. Mathlab预定义常量： (1) 叙述单位i,j (2) 圆周率pi (3) Inf：无穷大 (4) NaN：不定值 如果出现重名变量
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摘要：Java编程用到的IDE是Eclipse. 关于第一个Java程序实现的简单流程： (1) 下载eclipse (2) File-New-Java Project 命名工程名字：Hello 右击工程下的src文件，new-class 命名package、Name (3) 准备工作完成 (4) 编写代
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摘要：(1) mathlab命令行中“，”与“；”的区别： 结尾不加任何东西也会输出结果 以“，”结尾不显示变量数值，但是再次输入变量名之后可以输出变量值 以“；”结尾显示变量值 (2) 输出格式控制语句：format 用法：先写format，后写变量，会按照要求输出 format loose (稀松输出
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摘要：定积分中值定理： 积分自身的定义是简单的，但是在教学过程中人们往往记得的只是它的计算方法，在引入积分的概念的时候，往往就将其与计算方法紧密的捆绑在一起，实际上，在积分简单的定义之下，微积分基本定理告诉了我们积分的计算方法。 微积分基本定理： 能够看到，正是基于这样一个基本定理，我们才能够找到积分的计
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摘要：这一章节讨论积分的定义以及微积分基本定理。 笔者先前在数学证明专栏中关于高斯定理的证明的开头，给出了一段关于微积分思想的概括，文中提到根据导数(微分)的定义，根据其逆定义来给出积分的定义和计算方法，这里其实是及其不严谨的，积分本身有着自己的定义，而其计算方法正是微积分基本定理所呈现出来的东西。 积分
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摘要：基于之前强大数定理的得证，这里我们再结合切比雪夫不等式，能够得到弱大数定理。 弱大数定理： 表面上，强大数定理和弱大数定理好像是质同的，但是他们之间真正的区别到底是什么呢？
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摘要：在现实问题中我们对于一个实验往往会重复成千上万次，那么我们就需要关注在实验次数趋于无穷之后，整个实验的期望会趋于怎样一个结果。其实这一章“极限定理”都是在处理这个问题。 强大数定理： 这里的证明过程给出了一些前提条件，不满足这些条件时强大数定理依然会成立。
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摘要：其实几何类的问题也可以分成两大类，不仅仅所有的几何问题都是叉积和设计繁琐的穷举，也会出现一些很偏几何的题目，这种时候，进行充分的数理分析是非常重要的。 Q1： 修水管问题： 话说最近柴小俊迷上了一款战略经营游戏《部落冲突》，他在修建筑的时候面临这样一个问题，他的军营被夹在两条河流之间，现在它想在两条
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摘要：之前我们介绍过，协方差能够一定程度上描述两个变量之间的相关性，但是有时候它并没有那么准确，例如下面这个例子： 本质一样的两个随机变量，独立性是不变的，但是通过这个等式我看到，如果在随机变量的前面添加了常数，协方差的结果是有比较大的差距的，因此这很不利于我们去度量两个随机变量之间的独立性，因此这里我们
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摘要：这篇文章着力来讨论线段相交这一个问题。 给出两条线段，如何判断这两条线段相交？ 如果这两条线段相交，如何求其交点？ 线段相交问题通常由于其繁杂的情况种类而让人避而远之，在这里希望通过笔者的简化讨论希望帮读者的思路进行一下梳理。 首先我们尝试画几个几何图像来找一下线段相交的一些不同的情况，这里需要注意
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摘要：为了描述一组数据的均值，我们引入了数学期望的概念，为了描述一组数据相对均值的波动情况，我们引入了方差。 能够看到，方差的本质也是一个期望，那么我们就能够利用期望的定义将其继续展开。 方差的一条重要性质：
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摘要：Uva 11796： 甲和乙两条狗分别沿着一条折线奔跑。两只狗的速度位置，但已知他们同时出发，同时到达，并且都是匀速奔跑。你的任务是求出甲和乙在奔跑过程中的最远距离和最近距离之差。 分析：这里分析两只狗在运动过程的距离问题，我们这里面临如下两个困难： (1) 两只狗都在动。 (2) 狗的运动路线是折
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摘要：修水管问题： 话说最近柴小俊迷上了一款战略经营游戏《部落冲突》，他在修建筑的时候面临这样一个问题，他的军营被夹在两条河流之间，现在它想在两条河流的边上修筑供水点，并且需要用水管将两个供水点分别与军营连接起来(两个供水点之间也要相连)，那么身为Acmer的你，能否当一次参谋，告诉柴小俊他最少需要准备多
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摘要：Ex6.1.(2) 分析:这种无穷级数中通项较为复杂的，通常需要借助等价无穷小进行化简然后再根据结果考虑用各种方法进行审敛。
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摘要：Ex3.3 分析：这里从一直条件出发，既给出了y’(x)也给出了y(x)的一些信息，因此我们尝试能够通过分部积分来完成计算。(分部积分既会用到y(x)也会用到y’(x))
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摘要：几道基于叉积的简单数学题目： Q：参考图片，现直角坐标系第一象限的整数点视为果树，现在我们给出三角形的三个点坐标，那么请问有多少棵果树被包在这个三角形当中(包括边界上的)。 分析：其实这是一道很典型的基于穷举和叉积的计算几何问题，叉积在几何问题中应用非常广，在这里就用作点定位。具体的原理笔者已经在《
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摘要：在实际的问题中，我们往往想要通过已有的数据来分析判断两个事件的发生是否有相关性。当然一个角度去寻找这两个事件内在的逻辑关系，这个角度需要深究两个事件的本质，而另外一个角度就是概率论提供的简单方法：基于两个事件发生的概率，我们就能够描述两个随机变量的相关性。 其实通过后边的计算式我们能够好的理解协方差
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摘要：在处理计算几何的问题中，有时候我们会将其看成图论中的graph图，结合我们在图论中学习过的欧拉定理，我们可以通过图形的节点数(v)和边数(e)得到不是那么好求的面数f。 平面图中的欧拉定理： 定理：设G为任意的连通的平面图，则v-e+f=2，v是G的顶点数，e是G的边数，f是G的面数。 证明：其实有
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摘要：Q1： 数字游戏： 两个人(A、B)用n个整数排成的一排棋盘玩游戏，游戏从A开始，每个人有如下操作： (1) 拿走棋盘最右侧或者最左侧的棋子，被拿走的数字从棋盘中抹掉。 (2) 棋盘中还剩下两个以上的数字的时候，可以把棋盘最右侧或者最左侧的两个数字抹掉 当棋盘上的所有数字消失之后，游戏结束，谁拿的棋
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摘要：LA3263： 题目大意：给出一个一笔画图形，它包含n个点。先给出其n个点坐标之后，求解这个图形把平面分成了几个区域。 分析：这里要求的是面的个数，显然连直接暴力进行求解的方法都没有，因此这里就需要进行一定的转化，已知信息是点的坐标，那么我们应该能够想到平面几何中的欧拉定理(我们将图形看成图论当中的
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摘要：这一章主要讨论关于无穷级数的相关习题。其实整体的来讲，整个关于无穷级数的讨论，本质上就可以讲是求解极限。 Ex6.1(1): 分析:这里观察到无穷级数每一项的指数，应该能够联想到用根值法进行审敛。
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摘要：我们通过一个具体的题目来学习几个计算几何的知识点。 在计算几何中所谓的知识点，其实就是一个又一个的函数，因此在学习过程中要注意积累这些函数，并且要充分理解它们的使用条件，这样在用的时候才能够得心应手。 Ex1： Morley定理告诉我们，任意三角形的三个角的6条三等分线会交出一个等边三角形记作△DE
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摘要：这一章节将用来讨论微分方程的有关题目。 Ex7.1: 分析：有关解微分方程的问题，最基础的类型有5种(可分离变量、齐次方程、一阶线性方程、伯努利方程、全微分方程)，那么在具体的题目中我们需要做的就是将当前形式不那么明显的微分方程转化成这五种已经归纳出解法的微分方程。
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摘要：这一章节着重从整体的层面给出数学建模过程中一个泛式流程，它给出了在给现实模型建立数学模型的框架性思路，但是需要注意的是，虽然这里称其为一种“泛式”思路，但是在具体的问题的分析中，整个建模过程还是充满了创造性和艺术性的。 建立数学模型的泛式框架： Step1：识别问题 Step2：作出假设 1.识别变
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摘要：叉积概念的引入： 在平面中我们为了度量一条直线的倾斜状态，为引入倾斜角这个概念。而通过在直角坐标系中建立tan α = k，我们实现了将几何关系和代数关系的衔接，这其实也是用计算机解决几何问题的一个核心，计算机做的是数值运算，因此你需要做的就是把几何关系用代数关系表达出来。而在空间中，为了表示一个平
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摘要：这篇文章将介绍计算几何中一个基础而重要的工具——叉积。 在这之前，我们先要解决一些基本问题。 点、线段的代码表示 结合结构体或者类的知识，这里其实很好理解，但是在具体的编码过程中怎么写，这个根据个人有很大的灵活性。 比如对于点，就可以用如下的语句表达： struct point { double x
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摘要：Uva11178: 题目大意：根据Morley定理我们可以知道，任意三角形的三个角的三等分点将交出一个等边三角形，那么现在给出三角形三个顶点A、B、C，请你计算D、E、F. 分析：大部分几何的题目数理分析上都比较简单，但是实现起来是较为繁琐的。这道问题其实就是进行三次直线交点的计算，而在每一次计算过
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