模糊c均值聚类及python实现
原理简介
模糊c均值聚类(Fuzzy C-Means)是引入了模糊理论的一种聚类算法，通过隶属度来表示样本属于某一类的概率，原因在于在很多情况下多个类别之间的界限并不是绝对的明确。显然，相比于k-means的硬聚类，模糊c均值聚类得到的聚类结果更灵活。
模糊c均值聚类通过最小化一下目标函数来得到聚类中心：
\[J_{m}=\sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{C} u_{i j}^{m}\left\|x_{i}-c_{j}\right\|^{2} \quad, \quad 1 \leq m<\infty \tag{1}
\]
其中，\(m>1\) 为模糊系数(fuzzy coefficient)，\(N\) 为样本数，\(C\) 为聚类中心数，\(c_j\) 表示第 \(j\) 个聚类中心，和样本特征维数相同，\(x_i\) 表示第 \(i\) 个样本，\(u_{ij}\) 表示样本 \(x_i\) 对聚类中心 \(c_j\) 的隶属度(通俗的说就是 \(x_i\) 属于 \(c_j\) 的概率)，显然满足
\[\sum_{j=1}^{C} u_{i j}=1 \tag{2}
\]
\(||*||\) 可以是任意度量数据相似性(距离)的范数，最常见的就是欧几里得范数（又称欧氏范数，L2范数，欧氏距离）：
\[d=\|x\|_2=\sqrt{\sum_i {x_i^2}} \tag{3}
\]
模糊c均值聚类通过更新 \(u_{ij}\) 和 \(c_j\) 来迭代地优化目标函数Eq. (1)：
\[u_{i j}=\frac{1}{\sum_{k=1}^{C}\left(\frac{\left\|x_{i}-c_{j}\right\|}{\left\|x_{i}-c_{k}\right\|}\right)^{\frac{2}{m-1}}} \tag{4}
\]
\[c_{j}=\frac{\sum_{i=1}^{N} u_{i j}^{m} \cdot x_{i}}{\sum_{i=1}^{N} u_{i j}^{m}} \tag{5}
\]
迭代的终止条件为 \(\max _{ij}\left\{\left|u_{ij}^{(t+1)}-u_{ij}^{(t)}\right|\right\}<\varepsilon\) ，其中 \(t\) 是迭代步数，\(\varepsilon\) 是一个很小的常数表示误差阈值。也就是说迭代地更新 \(u_{ij}\) 和 \(c_j\) 直到前后两次隶属度最大变化值不超过误差阈值。这个过程最终收敛于 \(J_m\) 的局部极小值点或鞍点。
算法步骤
可以将模糊c均值聚类的过程归纳为以下几步：
- 初始化隶属度矩阵 \(U^{(0)}\)，若有 \(N\)个样本，指定类别数为 \(C\)，则隶属度矩阵应当是 \(N*C\) 的矩阵；
- 根据式(5)更新聚类中心 \(c_j, j=1,...,C\)；
- 根据式(4)更新 \(U^{(t)}, U^{(t+1)}\)；
- 若满足终止条件 \(\max _{ij}\left\{\left|u_{ij}^{(t+1)}-u_{ij}^{(t)}\right|\right\}<\varepsilon\) 则停止迭代，否则返回步骤2。
程序实现
下面代码以Iris数据集为例实现了fuzzy c-means。
#!/usr/bin/python3
# -*- coding: utf-8 -*-
'''
@Date : 2019/9/11
@Author : Rezero
'''
import numpy as np
import pandas as pd
def loadData(datapath):
data = pd.read_csv(datapath, sep=',', header=None)
data = data.sample(frac=1.0) # 打乱数据顺序
dataX = data.iloc[:, :-1].values # 特征
labels = data.iloc[:, -1].values # 标签
# 将标签类别用 0, 1, 2表示
labels[np.where(labels == "Iris-setosa")] = 0
labels[np.where(labels == "Iris-versicolor")] = 1
labels[np.where(labels == "Iris-virginica")] = 2
return dataX, labels
def initialize_U(samples, classes):
U = np.random.rand(samples, classes) # 先生成随机矩阵
sumU = 1 / np.sum(U, axis=1) # 求每行的和
U = np.multiply(U.T, sumU) # 使隶属度矩阵每一行和为1
return U.T
# 计算样本和簇中心的距离，这里使用欧氏距离
def distance(X, centroid):
return np.sqrt(np.sum((X-centroid)**2, axis=1))
def computeU(X, centroids, m=2):
sampleNumber = X.shape[0] # 样本数
classes = len(centroids)
U = np.zeros((sampleNumber, classes))
# 更新隶属度矩阵
for i in range(classes):
for k in range(classes):
U[:, i] += (distance(X, centroids[i]) / distance(X, centroids[k])) ** (2 / (m - 1))
U = 1 / U
return U
def ajustCentroid(centroids, U, labels):
newCentroids = [[], [], []]
curr = np.argmax(U, axis=1) # 当前中心顺序得到的标签
for i in range(len(centroids)):
index = np.where(curr == i) # 建立中心和类别的映射
trueLabel = list(labels[index]) # 获取labels[index]出现次数最多的元素，就是真实类别
trueLabel = max(set(trueLabel), key=trueLabel.count)
newCentroids[trueLabel] = centroids[i]
return newCentroids
def cluster(data, labels, m, classes, EPS):
"""
:param data: 数据集
:param m: 模糊系数(fuzziness coefficient)
:param classes: 类别数
:return: 聚类中心
"""
sampleNumber = data.shape[0] # 样本数
cNumber = data.shape[1] # 特征数
U = initialize_U(sampleNumber, classes) # 初始化隶属度矩阵
U_old = np.zeros((sampleNumber, classes))
while True:
centroids = []
# 更新簇中心
for i in range(classes):
centroid = np.dot(U[:, i]**m, data) / (np.sum(U[:, i]**m))
centroids.append(centroid)
U_old = U.copy()
U = computeU(data, centroids, m) # 计算新的隶属度矩阵
if np.max(np.abs(U - U_old)) < EPS:
# 这里的类别和数据标签并不是一一对应的, 调整使得第i个中心表示第i类
centroids = ajustCentroid(centroids, U, labels)
return centroids, U
# 预测所属的类别
def predict(X, centroids):
labels = np.zeros(X.shape[0])
U = computeU(X, centroids) # 计算隶属度矩阵
labels = np.argmax(U, axis=1) # 找到隶属度矩阵中每行的最大值，即该样本最大可能所属类别
return labels
def main():
datapath = "iris.data"
dataX, labels = loadData(datapath) # 读取数据
# 划分训练集和测试集
ratio = 0.6 # 训练集的比例
trainLength = int(dataX.shape[0] * ratio) # 训练集长度
trainX = dataX[:trainLength, :]
trainLabels = labels[:trainLength]
testX = dataX[trainLength:, :]
testLabels = labels[trainLength:]
EPS = 1e-6 # 停止误差条件
m = 2 # 模糊因子
classes = 3 # 类别数
# 得到各类别的中心
centroids, U = cluster(trainX, trainLabels, m, classes, EPS)
trainLabels_prediction = predict(trainX, centroids)
testLabels_prediction = predict(testX, centroids)
train_error = 1 - np.sum(np.abs(trainLabels_prediction - trainLabels)) / trainLength
test_error = 1 - np.sum(np.abs(testLabels_prediction - testLabels)) / (dataX.shape[0] - trainLength)
print("Clustering on traintset is %.2f%%" % (train_error*100))
print("Clustering on testset is %.2f%%" % (test_error*100))
if __name__ == "__main__":
main()
参考资料
A Tutorial on Clustering Algorithms——Fuzzy C-Means Clustering
Fuzzy C-Means（模糊C均值聚类）算法原理详解与python实现
