【学习笔记】Powerful Number 筛

有力量的数字筛（？）

Powerful Number

有力量的数字（？）

定义一个数 $n$ 为 Powerful Number（简称 PN），当且仅当 $n$ 没有非平方因子。

也即，若 $n=\prod p_i^{e_i}$，则 $\forall e_i>1$。

Lemma

保障 PN 筛时间复杂度的一个性质。

$n$ 以内的 PN 个数为 $O(\sqrt n)$。

首先，考虑每个 PN 可以被表示为 $a^3b^2$ 的形式，构造方法是质因数分解后，把幂次为奇数的质数分给 $a^3$ 一个，剩下分给 $b^2$。枚举 $b$ 然后积分就可以得到 PN 的数量：

$$\sum_{b=1}^{n^{1/2}}\left(\frac{n}{b^2}\right)^{1/3}\le\int_{1}^{n^{1/2}}\left(\frac{n}{x^2}\right)^{1/3}\text dx=O(\sqrt n)$$

Description

求积性函数前缀和。

对于要求前缀和的积性函数 $f$，构造可以快速计算前缀和的拟合函数 $g$ 使得 $f(p)=g(p)$。再构造 $h$ 使得 $f=g*h$。显然有 $f(p)=g(p)h(1)+g(1)h(p)$，可得 $h(p)=0$。因此 $h$ 仅在 $1$ 和 PN 处有取值。然后把 $f$ 的前缀和做一下变换：

$$\begin{aligned} \sum_{i=1}^nf(i)=&\sum_{i=1}^n\sum_{d\mid n}g(\frac nd)h(d)\\ =&\sum_{d=1}^n\sum_{i=1}^{\lfloor\frac nd\rfloor}g(i)h(d)\\ =&\sum_{d=1}^nh(d)G(\lfloor\frac nd\rfloor) \end{aligned}$$

因为 $h$ 仅在 $O(\sqrt n)$ 个 $d$ 值处有取值，可以直接搜索 $d$ 的取值。

若 $g$ 的前缀和能 $O(1)$ 计算，则复杂度为 $O(\sqrt n)$。

$h$ 的取值可以在特定题目直接推导，也可以记忆化后计算。通过定义式 $f=g*h$ 得到 $f(p^e)=\sum_{i=0}^eg(p^i)h(p^{e-i})$，移项得到 $h(p^e)=f(p^e)-\sum_{i=1}^eg(p^i)h(p^{e-i})$ 即可计算。

Problems

P5325 【模板】Min_25筛

令积性函数 $f(p^e)=p^e(p^e-1)$，求 $f$ 前缀和。

在质数处，构造 $g=\text{id}\cdot\varphi$ 拟合 $f$。$g$ 可以通过杜教筛求前缀和。注意到式子所需要的 $g$ 前缀和求一次 $\sum_{i=1}^ng(i)$ 即可得到，因此复杂度瓶颈在这次杜教筛，总体复杂度为 $O(n^{2/3})$。

这题也可直接计算 $h(p^e)=(e-1)(p-1)p^e$。证明不写了。

record

Loj #6053. 简单的函数

定义积性函数 $f$：

$$f(n)=\begin{cases}1&n=1\\p\oplus e&n=p^e\\f(a)f(b)&n=ab,a\perp b\end{cases}$$

求 $f$ 前缀和。

异或有点烦。按奇偶性分类：

$$f(p)=\begin{cases}3&p=2\\p-1&p\not=2\end{cases}$$

构造 $g$：

$$g(p)=\begin{cases}3\varphi(p)&p=2\\\varphi(p)&p\not=2\end{cases}$$

显然 $g$ 为积性函数。考虑计算 $g$ 的前缀和：

$$\begin{aligned} G(n)=&\sum_{i=1}^ng(i)\\ =&\sum_{i=1}^n[i\equiv1\pmod2]\varphi(i)+3\sum_{i=1}^n[i\equiv0\pmod2]\varphi(i)\\ =&\sum_{i=1}^n\varphi(i)+2\sum_{i=1}^n[i\equiv0\pmod2]\varphi(i)\\ =&\sum_{i=1}^n\varphi(i)+2\sum_{i=1}^{\lfloor\frac n2\rfloor}\varphi(2i)\\ =&S_1(n)+2S_2(\lfloor\frac n2\rfloor) \end{aligned}$$

$S_1(n)=\sum_{i=1}^n\varphi(n)$，可以杜教筛。

$$\begin{aligned} S_2(n)=&\sum_{i=1}^n\varphi(2i)\\ =&\sum_{i=1}^n[i\equiv1\pmod2]\varphi(2i)+\sum_{i=1}^n[i\equiv0\pmod2]\varphi(2i)\\ =&\sum_{i=1}^n[i\equiv1\pmod2]\varphi(i)+2\sum_{i=1}^n[i\equiv0\pmod2]\varphi(i)\\ =&\sum_{i=1}^n\varphi(i)+\sum_{i=1}^n[i\equiv0\pmod2]\varphi(i)\\ =&S_1(n)+S_2(\lfloor\frac n2\rfloor) \end{aligned}$$

递归计算。

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Extend

有时候拟合函数 $g$ 不是很好找。这时可以构造一个 $g$，使得 $h=f/g$ 仅在少数位置有取值。

SP34112 UDIVSUM

$\sigma^*(p^e)=p^e+1$，求前缀和。

构造 $g=\sigma$，即约数和，可以数论分块 $O(\sqrt n)$ 求。写 divcnt1 的都是狗

令 $h=\sigma^*/\sigma$，发现 $h(1)=1,h(p^2)=-p$，其余位置均无取值。于是可以 PN 筛，注意幂次处理。

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