归并排序法

归并排序法是利用递归和分治技术，将数据序列划分为越来越小的半子表，再对半子表排序，最后再用递归步骤将排好序的半子表合并为越来越大的有序序列。

其中，“归”代表的是递归的意思，即递归地将数组折半地分离为单个数组。例如：数组[2,6,1,0]会先折半，分为[2,6]和[1,0]两个数组，然后再次折半，将数组分离，分为[2],[6],[1],[0]。

“并”的思想就是将分开的数组按照顺序放到另一个数组中。如上面的[2]、[6]合并到一个数组中是[2,6]，[1],[0]合并为[0,1]，然后再将[2,6]和[0,1]合并到一个数组中，即为[0,1,2,6]。

 

　　具体而言，将待排序序列R[0...n-1]看成是n个长度为1的有序序列，将相邻的有序表成对归并，得到n/2(向上取整)个长度为2或1的有序表；将这些有序序列再次归并，反复执行，直到得到一个有序序列为止。

综上可知：

归并排序其实要做两件事：

（1）“分解”——将序列每次折半划分。

（2）“合并”——将划分后的序列段两两合并后排序。

 

我们先来考虑第二步，如何合并？

在每次合并过程中，都是对两个有序的序列段进行合并，然后排序。

这两个有序序列段分别为 R[low, mid] 和 R[mid+1, high]。

先将他们合并到一个局部的暂存数组R2中，带合并完成后再将R2复制回R中。

为了方便描述，我们称 R[low, mid] 第一段，R[mid+1, high] 为第二段。

每次从两个段中取出一个记录进行关键字的比较，将较小者放入R2中。最后将各段中余下的部分直接复制到R2中。

经过这样的过程，R2已经是一个有序的序列，再将其复制回R中，一次合并排序就完成了。

核心代码

void Merge(int array[], int low, int mid, int high)
{
    int i = low;// i 是第一段序列的下标
    int j = mid + 1; // j 是第二段下标
    int k = 0; // k 是临时存放合并序列的下标
    int* array2 = new int[high - low + 1]; //array2是临时合并序列

    //扫描第一段和第二段序列，直到有一个扫描结束
    while (i <= mid && j <= high)
    {
        //判断第一段和第二段去除的数哪个更小，将其存入合并序列，并继续向下扫描
        if (array[i] <= array[j])
        {
            array2[k] = array[i];
            i++;
            k++;
        }
        else
        {
            array2[k] = array[j];
            j++;
            k++;
        }
    }
    
    //第一段序列没有扫描完，将其剩余全部复制到合并序列
    while (i <= mid)
    {
        array2[k] = array[i];
        k++;
        i++;
    }

    //第二段序列没有扫描完，将其剩余全部复制到合并序列
    while (j <= high)
    {
        array2[k] = array[j];
        j++;
        k++;
    }

    //将合并序列复制到原始序列中
    for (k = 0, i = low; i <= high; i++,k++)
    {
        array[i] = array2[k];
    }
    delete[] array2;
}

掌握了合并的方法，接下来，让我们来了解  如何分解。

核心代码：

int MergeSort(int array[], int low, int high)
{
    int mid;
    if (low > high)
        return -1;
    if (low == high)
        return 0;
    if (low < high)
    {
        mid = (low + high) / 2;
        MergeSort(array, low, mid);
        MergeSort(array, mid + 1, high);
        Merge(array, low, mid, high);
    }
}

时间复杂度

归并排序的形式就是一棵二叉树，它需要遍历的次数就是二叉树的深度，而根据完全二叉树的可以得出它的时间复杂度是O(n*log2n)。

 

空间复杂度

由前面的算法说明可知，算法处理过程中，需要一个大小为n的临时存储空间用以保存合并序列。

 

算法稳定性

在归并排序中，相等的元素的顺序不会改变，所以它是稳定的算法。

归并排序和堆排序、快速排序的比较

若从空间复杂度来考虑：首选堆排序，其次是快速排序，最后是归并排序。

若从稳定性来考虑，应选取归并排序，因为堆排序和快速排序都是不稳定的。

若从平均情况下的排序速度考虑，应该选择快速排序。 

 

完整参考代码：

#include <iostream>
using namespace std;

void Merge(int array[], int low, int mid, int high)
{
    int i = low;// i 是第一段序列的下标
    int j = mid + 1; // j 是第二段下标
    int k = 0; // k 是临时存放合并序列的下标
    int* array2 = new int[high - low + 1]; //array2是临时合并序列

    //扫描第一段和第二段序列，直到有一个扫描结束
    while (i <= mid && j <= high)
    {
        //判断第一段和第二段去除的数哪个更小，将其存入合并序列，并继续向下扫描
        if (array[i] <= array[j])
        {
            array2[k] = array[i];
            i++;
            k++;
        }
        else
        {
            array2[k] = array[j];
            j++;
            k++;
        }
    }
    
    //第一段序列没有扫描完，将其剩余全部复制到合并序列
    while (i <= mid)
    {
        array2[k] = array[i];
        k++;
        i++;
    }

    //第二段序列没有扫描完，将其剩余全部复制到合并序列
    while (j <= high)
    {
        array2[k] = array[j];
        j++;
        k++;
    }

    //将合并序列复制到原始序列中
    for (k = 0, i = low; i <= high; i++,k++)
    {
        array[i] = array2[k];
    }
    delete[] array2;
}

int MergeSort(int array[], int low, int high)
{
    int mid;
    if (low > high)
        return -1;
    if (low == high)
        return 0;
    if (low < high)
    {
        mid = (low + high) / 2;
        MergeSort(array, low, mid);
        MergeSort(array, mid + 1, high);
        Merge(array, low, mid, high);
    }
}

int main()
{
    int i = 0;
    int array[] = { 5, 4, 9, 8, 7, 6, 0, 1, 4, 2 };
    int len = sizeof(array)/sizeof(int);
    MergeSort(array, 0, len - 1);

    for (i = 0; i < len; i++)
        printf("%d\n", array[i]);
    getchar();

    return 0;
}