CMOS LCVCO 热相位噪声定性分析

Ref: Hegazi. The Designer's Guide to High-Purity Oscillators.

只讨论热噪声引起的相位噪声

1. 预备知识

1.1 加性热噪声

结论：载波上叠加热噪声，其结果为载波被AM和PM调制，且二者大小相等。

频率为 \(\omega_o\) 的载波，叠加频率为 \(\omega_o+\omega_n\) 的噪声：

\[\begin{equation} s(t) = A_0 \sin(\omega_o t) + a_n \sin((\omega_o + \omega_n)t + \phi_n) \end{equation} \]

进一步可以写为

\[\begin{align} s(t) = A_{o} \sin(\omega_{o} t)& + \frac{a_{n}}{2} \sin((\omega_{o} + \omega_{n}) t + \phi_{n}) + \frac{a_{n}}{2} \sin((\omega_{o} - \omega_{n}) t - \phi_{n}) \notag \\&+ \frac{a_{n}}{2} \sin((\omega_{o} + \omega_{n}) t + \phi_{n}) - \frac{a_{n}}{2} \sin((\omega_{o} - \omega_{n}) t - \phi_{n}) \end{align} \]

前三项为AM信号的形式，后两项加上载波为PM信号的形式。

1.2 VCO中的交叉耦合对和谐振腔

交叉耦合对是一个非线性电路，具有如下I-V特性。谐振腔是一个高Q值BPF。

交叉耦合对的栅极差分电压 \(V_{out}\) 通过其本身的跨导（非线性的，类似 limit amplifier）作用，转化为差分电流 \(I_{out}\) ，再经谐振腔 (BPF) 选出基频电流。如果 \(V_{out}\) 是 PM 信号，可以证明 BPF 输出的电流也是相同载波-边带比的 PM 信号，如下图。如果 \(V_{out}\) 是 AM 信号，则BPF 输出的电流没有 AM 信号。

2. 谐振腔热噪声

结论：只有振荡频率附近的热噪声是重要的，其他频率的热噪声会被谐振腔滤掉。

损耗R上的振荡频率附近 (\(\omega_o + \omega_m\)) 的热噪声叠加在 \(V_{out}\) 上，使 \(V_{out}\) 同时有 AM 和 PM。再经过非线性跨导和谐振腔的选频，产生只有 PM 的电流 \(I_{out}\)，从而注入谐振腔，产生相位噪声。可以计算谐振腔贡献的相位噪声大小为

\[\begin{equation} \mathcal{L}(\omega_m) = \frac{4kTR}{V_1^2}\left(\frac{\omega_o}{2Q\omega_m}\right)^2 \end{equation} \]

3. 交叉耦合管热噪声

结论：交叉耦合管只在 active region (两个管子同时导通时) 贡献相位噪声。交叉耦合管在奇次谐波处的热噪声是重要的。

交叉耦合对的跨导随时间的函数 \(G_m(t)\) 如下图所示（假设 \(V_{out}\) 是正弦波），注意 \(G_m(t)\) 的频率为振荡频率的二倍频。其在 \(V_{out}\) 过零点附近为 \(g_{inst}\) ，其他时间为0，因为电流已经饱和，其一边的电流大小为尾电流大小，另一边电流为0。

交叉耦合管输出的电流噪声为

\[\begin{equation} i_n = G_m(t) \cdot v_n \end{equation} \]

其中 \(v_n\) 为交叉耦合管等效在栅极处的电压噪声。可以更直观地从频域观察 \(G_m\) 频谱与 \(v_n\) 频谱的卷积：

可以看到，由于 \(G_m\) 频谱都是在二次谐波处，因此交叉耦合管的奇次谐波处的噪声会与之混频，成为振荡频率附近的电流噪声，注入谐振腔，成为相位噪声。可以计算出交叉耦合管贡献的相位噪声大小

\[\begin{equation} \mathcal{L}(\omega_{m})=\frac{8kT\gamma I_{0}}{\pi V_{1}^{3}}R^{2}\left(\frac{\omega_{\mathrm{o}}}{2Q\omega_{\mathrm{m}}}\right)^{2} \end{equation} \]

4. 尾电流热噪声

结论：尾电流在低频和二次谐波的热噪声是重要的

交叉耦合管可以看做2个交替切换的开关，或者单平衡混频器，将尾电流噪声变频并注入谐振腔。这可以看做一个频率为 \(\omega_0\) 的方波（1,3,5……次谐波）和尾电流相乘，然后注入谐振腔。因此，尾电流的偶次谐波处的噪声电流会被混频到基频附近。由于方波的5次以上谐波幅值很小，所以尾电流的低频和二次谐波附近的噪声对相噪的贡献较大。

可以计算出尾电流贡献的相位噪声大小

\[\begin{equation} \mathcal{L}(\omega_{m}) = \frac{kT\gamma\pi^{2}}{2I_0V_\mathrm{eff}} \left(\frac{\omega_\mathrm{o}}{2Q\omega_\mathrm{m}}\right)^2 \end{equation} \]