BZOJ2004:[HNOI2010]Bus 公交线路(状压DP,矩阵乘法)

Description

小Z所在的城市有N个公交车站，排列在一条长(N-1)km的直线上，从左到右依次编号为1到N，相邻公交车站间的距离均为1km。 作为公交车线路的规划者，小Z调查了市民的需求，决定按下述规则设计线路：

1.设共K辆公交车，则1到K号站作为始发站，N-K+1到N号台作为终点站。

2.每个车站必须被一辆且仅一辆公交车经过（始发站和终点站也算被经过）。 

3.公交车只能从编号较小的站台驶往编号较大的站台。 

4.一辆公交车经过的相邻两个

站台间距离不得超过Pkm。 在最终设计线路之前，小Z想知道有多少种满足要求的方案。由于答案可能很大，你只需求出答案对30031取模的结果。

Input

仅一行包含三个正整数N K P，分别表示公交车站数，公交车数，相邻站台的距离限制。

N<=10^9，1<P<=10，K<N，1<K<=P

Output

仅包含一个整数，表示满足要求的方案数对30031取模的结果。

Sample Input

样例一：10 3 3
样例二：5 2 3
样例三：10 2 4

Sample Output

1
3
81

HINT

【样例说明】

样例一的可行方案如下： (1,4,7,10)，(2,5,8)，(3,6,9)

样例二的可行方案如下： (1,3,5)，(2,4) (1,3,4)，(2,5) (1,4)，(2,3,5)

P<=10 , K <=8

Solution 

显然这个范围是要状压+矩乘……然后我就不会了

因为一个公交车经过的两个相邻的站台之间的距离不超过$p$，所以设$f[i][S]$表示最靠左的车在$i$位置，$i$后面$p$个位置的状态是$S$，其中$S$的某一位是0代表没车，1代表有车。

这相当于我们把这$k$辆车都放到一个长度为$p$的区间内来做。因为车没有编号所以我们并不需要区分。

然后状态数最大只有$C(9,4)$，所以可以预处理出所有状态可以到达的状态然后矩阵转移……$f[i][S]=\sum f[i-1][S']$，其中$S'$状态可以转移到$S$。

初始状态为长度为$p$的区间左边一段都是1，终止状态也是。

Code

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define MOD (30031)
using namespace std;

int n,k,p,S[209],cnt,Refun;

struct Matrix
{
    int m[209][209];
    Matrix(){memset(m,0,sizeof(m));}
    Matrix operator * (const Matrix b) const
    {
        Matrix ans;
        for (int i=1; i<=130; ++i)
            for (int j=1; j<=130; ++j)
                for (int k=1; k<=130; ++k)
                    (ans.m[i][j]+=m[i][k]*b.m[k][j])%=MOD;
        return ans;
    }
}A,G;

Matrix Qpow(Matrix a,int p)
{
    Matrix ans;
    for (int i=1; i<=130; ++i) ans.m[i][i]=1;
    while (p)
    {
        if (p&1) ans=ans*a;
        a=a*a; p>>=1;
    }
    return ans;
}

int Get(int x)//二进制下1的数量 
{
    int num=0;
    while (x) num+=(x&1),x>>=1;
    return num;
}

bool check(int x,int y)//判断x状态是否能到达y状态 
{
    int now=S[x]<<1, tmp=0;
    for (int i=0; i<p; ++i)
        if ((now&(1<<i))!=(S[y]&(1<<i))) tmp++;
    return tmp<=1;
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&k,&p);
    for (int i=1<<(p-1); i<=(1<<p)-1; ++i)//强制第一位有车 
        if (Get(i)==k)
        {
            S[++cnt]=i;
            if (S[cnt]==(1<<p)-(1<<p-k)) Refun=cnt;//记录车都在起点/终点的状态 
        }
    A.m[1][Refun]=1;
    for (int i=1; i<=cnt; ++i)
        for (int j=1; j<=cnt; ++j)
            if (check(i,j)) G.m[i][j]=1;
    G=Qpow(G,n-k);
    A=A*G;
    printf("%d\n",A.m[1][Refun]);
}