若点 (m, n) 在椭圆 9x^2 + y^2 = 9 上,求 n / (m - 3) 的最小值和最大值.

若点 (m, n) 在椭圆 9x2 + y2 = 9 上,求 n / (m - 3) 的最小值和最大值.

解法一:由 9x2 + y2 = 9 有 x2 + (y/3)2 = 1,即有如下的参数方程:

x = cosφ, y = 3sinφ.

由题设可令 m = cosθ,n = 3sinθ,记 t = n / (m - 3),则有

t = n / (m - 3) =  3sinθ / (cosθ - 3),即有

3t = tcosθ - 3sinθ

令 cosψ = t / (t2 + 9)1/2,sinψ = 3 / (t2 + 9)1/2,则有

3t / (t2 + 9)1/2 = cosψ·cosθ - sinψ·sinθ = cos(ψ + θ)

由 (cos(ψ + θ))2 ≤ 1,有

9t2 ≤ t2 + 9

即 t2 ≤ 9/8

即 -3√(2) / 4 ≤ t ≤ 3√(2) / 4

当 t = 3√(2) / 4 时,sinψ = 3 / (t2 + 9)1/2 

= 3 / (9/8 + 9)1/2 =  1 / (1/8 + 1)1/2 = √(8/9) =  2√(2) / 3,

cosψ = 1/3

于是 ψ = arccos(1/3) 时,取 θ = -arccos(1/3),就有 t = 3√(2) / 4;

同样,当 ψ = π - arccos(1/3) 时,取 θ = arccos(1/3),就有 t = -3√(2) / 4.

综上,n / (m - 3) 的最小值和最大值分别为  -3√(2) / 4 和  3√(2) / 4。

解法二:同解法一得到 n / (m - 3) =  3sinθ / (cosθ - 3),直接考察 f(θ) = 3sinθ / (cosθ - 3) 的单调性,对 f(θ) 求导,有

f'(θ)·(cosθ - 3)2 = 3cosθ·(cosθ - 3) - 3sinθ·(-sinθ) = 3cos2θ + 3sin2θ - 9cosθ = 3 - 9cosθ

易知 (cosθ - 3)2 > 0,所以当 cosθ < 1/3 时,f'(θ) > 0.

考虑 [-π, π) 这个周期,cosθ 在 [-π, 0) 上单调递增,在 [0, π) 上单调递减.

记 ψ = arccos(1/3) ,cos(-ψ) = cos(ψ) = 1/3,sin(ψ) = 2√(2) / 3,于是

当 θ ∈ (-ψ, ψ) 时,f'(θ) < 0,f(θ) 单调递减;而当 θ ∈ (-π, -ψ) 或 (ψ, π) 时,f'(θ) > 0,f(θ) 单调递增.

f(-π) = f(π) =  3sinπ / (cosπ - 3) = 0

f(-ψ) = 3sin(-ψ) / (cos(-ψ) - 3) = -3sin(ψ) / (cosψ - 3) = 2√(2) / (8 / 3) = 3√(2) / 4

f(ψ) = 3sin(ψ) / (cosψ - 3) = -3√(2) / 4

综上,n / (m - 3) 的最小值和最大值分别为  -3√(2) / 4 和  3√(2) / 4。

解法三:记 k = n / (m - 3),则 k 的几何含义是下图中椭圆上一点 (m, n) 与 点 D (3, 0) 的连线的斜率:

 由图易知,过点 D 有两条切线,即 DE 与 DF,和椭圆相切,DE 和 DF 的斜率分别就是所求 k 的最小值和最大值。

由 9x2 + y2 = 9,有 y2 = 9 - 9x2,两边对 x 求导,得

2y·y' = -18x,即得到该椭圆过椭圆上的点 (x, y) 的切线斜率为 y' = -9x / y

于是过点 (m, n) 的切线方程为 

 y - n = (-9m / n)·(x - m)

该切线过点 D (3, 0),于是有

-n = (-9m / n)·(3 - m),即 -n2 = 27m + 9m2

点 (m, n) 在椭圆上,即有 9m2 + n2 = 9

于是 27m = 9,即 m = 1/3,n2 = 9 - 9m2 = 8,n = 2√(2) 或 -2√(2)

这样,就得到了点 E 和 点 F 的坐标分别为 (1/3, 2√(2)) 和 (1/3, -2√(2))

过这两点的椭圆切线的斜率分别为

kDE = -9m / n = -3 / [2√(2)] = -3√(2) / 4

kDF = -9m / n = -3 / [-2√(2)] = 3√(2) / 4

综上,n / (m - 3) 的最小值和最大值分别为  -3√(2) / 4 和  3√(2) / 4。

 

posted on 2021-12-10 08:38  readalps  阅读(238)  评论(0)    收藏  举报

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