若点 (m, n) 在椭圆 9x^2 + y^2 = 9 上,求 n / (m - 3) 的最小值和最大值.
若点 (m, n) 在椭圆 9x2 + y2 = 9 上,求 n / (m - 3) 的最小值和最大值.
解法一:由 9x2 + y2 = 9 有 x2 + (y/3)2 = 1,即有如下的参数方程:
x = cosφ, y = 3sinφ.
由题设可令 m = cosθ,n = 3sinθ,记 t = n / (m - 3),则有
t = n / (m - 3) = 3sinθ / (cosθ - 3),即有
3t = tcosθ - 3sinθ
令 cosψ = t / (t2 + 9)1/2,sinψ = 3 / (t2 + 9)1/2,则有
3t / (t2 + 9)1/2 = cosψ·cosθ - sinψ·sinθ = cos(ψ + θ)
由 (cos(ψ + θ))2 ≤ 1,有
9t2 ≤ t2 + 9
即 t2 ≤ 9/8
即 -3√(2) / 4 ≤ t ≤ 3√(2) / 4
当 t = 3√(2) / 4 时,sinψ = 3 / (t2 + 9)1/2
= 3 / (9/8 + 9)1/2 = 1 / (1/8 + 1)1/2 = √(8/9) = 2√(2) / 3,
cosψ = 1/3
于是 ψ = arccos(1/3) 时,取 θ = -arccos(1/3),就有 t = 3√(2) / 4;
同样,当 ψ = π - arccos(1/3) 时,取 θ = arccos(1/3),就有 t = -3√(2) / 4.
综上,n / (m - 3) 的最小值和最大值分别为 -3√(2) / 4 和 3√(2) / 4。
解法二:同解法一得到 n / (m - 3) = 3sinθ / (cosθ - 3),直接考察 f(θ) = 3sinθ / (cosθ - 3) 的单调性,对 f(θ) 求导,有
f'(θ)·(cosθ - 3)2 = 3cosθ·(cosθ - 3) - 3sinθ·(-sinθ) = 3cos2θ + 3sin2θ - 9cosθ = 3 - 9cosθ
易知 (cosθ - 3)2 > 0,所以当 cosθ < 1/3 时,f'(θ) > 0.
考虑 [-π, π) 这个周期,cosθ 在 [-π, 0) 上单调递增,在 [0, π) 上单调递减.
记 ψ = arccos(1/3) ,cos(-ψ) = cos(ψ) = 1/3,sin(ψ) = 2√(2) / 3,于是
当 θ ∈ (-ψ, ψ) 时,f'(θ) < 0,f(θ) 单调递减;而当 θ ∈ (-π, -ψ) 或 (ψ, π) 时,f'(θ) > 0,f(θ) 单调递增.
f(-π) = f(π) = 3sinπ / (cosπ - 3) = 0
f(-ψ) = 3sin(-ψ) / (cos(-ψ) - 3) = -3sin(ψ) / (cosψ - 3) = 2√(2) / (8 / 3) = 3√(2) / 4
f(ψ) = 3sin(ψ) / (cosψ - 3) = -3√(2) / 4
综上,n / (m - 3) 的最小值和最大值分别为 -3√(2) / 4 和 3√(2) / 4。
解法三:记 k = n / (m - 3),则 k 的几何含义是下图中椭圆上一点 (m, n) 与 点 D (3, 0) 的连线的斜率:
由图易知,过点 D 有两条切线,即 DE 与 DF,和椭圆相切,DE 和 DF 的斜率分别就是所求 k 的最小值和最大值。
由 9x2 + y2 = 9,有 y2 = 9 - 9x2,两边对 x 求导,得
2y·y' = -18x,即得到该椭圆过椭圆上的点 (x, y) 的切线斜率为 y' = -9x / y
于是过点 (m, n) 的切线方程为
y - n = (-9m / n)·(x - m)
该切线过点 D (3, 0),于是有
-n = (-9m / n)·(3 - m),即 -n2 = 27m + 9m2
点 (m, n) 在椭圆上,即有 9m2 + n2 = 9
于是 27m = 9,即 m = 1/3,n2 = 9 - 9m2 = 8,n = 2√(2) 或 -2√(2)
这样,就得到了点 E 和 点 F 的坐标分别为 (1/3, 2√(2)) 和 (1/3, -2√(2))
过这两点的椭圆切线的斜率分别为
kDE = -9m / n = -3 / [2√(2)] = -3√(2) / 4
kDF = -9m / n = -3 / [-2√(2)] = 3√(2) / 4
综上,n / (m - 3) 的最小值和最大值分别为 -3√(2) / 4 和 3√(2) / 4。