若点 (m, n) 在椭圆 9x^2 + y^2 = 9 上，求 n / (m - 3) 的最小值和最大值.

若点 (m, n) 在椭圆 9x² + y² = 9 上，求 n / (m - 3) 的最小值和最大值.

解法一：由 9x² + y² = 9 有 x² + (y/3)² = 1，即有如下的参数方程：

x = cosφ, y = 3sinφ.

由题设可令 m = cosθ，n = 3sinθ，记 t = n / (m - 3)，则有

t = n / (m - 3) =  3sinθ / (cosθ - 3)，即有

3t = tcosθ - 3sinθ

令 cosψ = t / (t² + 9)^1/2，sinψ = 3 / (t² + 9)^1/2，则有

3t / (t² + 9)^1/2 = cosψ·cosθ - sinψ·sinθ = cos(ψ + θ)

由 (cos(ψ + θ))² ≤ 1，有

9t² ≤ t² + 9

即 t² ≤ 9/8

即 -3√(2) / 4 ≤ t ≤ 3√(2) / 4

当 t = 3√(2) / 4 时，sinψ = 3 / (t² + 9)^1/2 

= 3 / (9/8 + 9)^1/2 =  1 / (1/8 + 1)^1/2 = √(8/9) =  2√(2) / 3，

cosψ = 1/3

于是 ψ = arccos(1/3) 时，取 θ = -arccos(1/3)，就有 t = 3√(2) / 4；

同样，当 ψ = π - arccos(1/3) 时，取 θ = arccos(1/3)，就有 t = -3√(2) / 4.

综上，n / (m - 3) 的最小值和最大值分别为  -3√(2) / 4 和  3√(2) / 4。

解法二：同解法一得到 n / (m - 3) =  3sinθ / (cosθ - 3)，直接考察 f(θ) = 3sinθ / (cosθ - 3) 的单调性，对 f(θ) 求导，有

f'(θ)·(cosθ - 3)² = 3cosθ·(cosθ - 3) - 3sinθ·(-sinθ) = 3cos²θ + 3sin²θ - 9cosθ = 3 - 9cosθ

易知 (cosθ - 3)² > 0，所以当 cosθ < 1/3 时，f'(θ) > 0.

考虑 [-π, π) 这个周期，cosθ 在 [-π, 0) 上单调递增，在 [0, π) 上单调递减.

记 ψ = arccos(1/3) ，cos(-ψ) = cos(ψ) = 1/3，sin(ψ) = 2√(2) / 3，于是

当 θ ∈ (-ψ, ψ) 时，f'(θ) < 0，f(θ) 单调递减；而当 θ ∈ (-π, -ψ) 或 (ψ, π) 时，f'(θ) > 0，f(θ) 单调递增.

f(-π) = f(π) =  3sinπ / (cosπ - 3) = 0

f(-ψ) = 3sin(-ψ) / (cos(-ψ) - 3) = -3sin(ψ) / (cosψ - 3) = 2√(2) / (8 / 3) = 3√(2) / 4

f(ψ) = 3sin(ψ) / (cosψ - 3) = -3√(2) / 4

综上，n / (m - 3) 的最小值和最大值分别为  -3√(2) / 4 和  3√(2) / 4。

解法三：记 k = n / (m - 3)，则 k 的几何含义是下图中椭圆上一点 (m, n) 与 点 D (3, 0) 的连线的斜率：

 由图易知，过点 D 有两条切线，即 DE 与 DF，和椭圆相切，DE 和 DF 的斜率分别就是所求 k 的最小值和最大值。

由 9x² + y² = 9，有 y² = 9 - 9x²，两边对 x 求导，得

2y·y' = -18x，即得到该椭圆过椭圆上的点 (x, y) 的切线斜率为 y' = -9x / y

于是过点 (m, n) 的切线方程为 

 y - n = (-9m / n)·(x - m)

该切线过点 D (3, 0)，于是有

-n = (-9m / n)·(3 - m)，即 -n² = 27m + 9m²

点 (m, n) 在椭圆上，即有 9m² + n² = 9

于是 27m = 9，即 m = 1/3，n² = 9 - 9m² = 8，n = 2√(2) 或 -2√(2)

这样，就得到了点 E 和 点 F 的坐标分别为 (1/3, 2√(2)) 和 (1/3, -2√(2))

过这两点的椭圆切线的斜率分别为

k_DE = -9m / n = -3 / [2√(2)] = -3√(2) / 4

k_DF = -9m / n = -3 / [-2√(2)] = 3√(2) / 4

综上，n / (m - 3) 的最小值和最大值分别为  -3√(2) / 4 和  3√(2) / 4。