77.组合

77.组合

题目

给定两个整数 n 和 k，返回 1 ... n 中所有可能的 k 个数的组合。

示例:
输入: n = 4, k = 2
输出:
[
[2,4],
[3,4],
[2,3],
[1,2],
[1,3],
[1,4],
]

来源：力扣（LeetCode）
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思路

引入

首先想到的是for循环,k=2使用两层循环,k=3使用三层循环,循环的层数随k的大小增加而增加，显然是很难解决的。
问题的本质还是枚举，此时就考虑回溯法。
原理
每一次递归中嵌套一个for循环，那么递归就可以解决多层循环的问题。

转换

回溯法解决的问题都可以抽象为树形结构★★★★★
输入n=4，k=2时

每次从剩下的数中选择元素，可选的范围进行收缩
n相当于是树宽，k相当于是树深，叶子节点就是需要的答案
转换之后一个初步的思路就出来了:
1.递归到叶子节点
2.保存节点值到结果集
3.回溯到上一个节点

题解

递归和回溯都是成对出现的，递归函数的三部曲同样适用与回溯。
递归函数的返回值以及参数
参数里一定有的是集合n里面取k个数，随着选择数的增加，可选的数减少，就需要一个变量去标识可选区间。
设置startIndex作为标志变量，每一次递归startIndex都要少1

List <List<Integer>> res = new ArrayList<> ();
List<Integer> path = new  ArrayList<> (); //符合条件的单一条件
void backtracking(int n,int k,int startIndex)

递归的终止条件

终止条件就是到了叶子节点，但是这并不是一颗树，只是我们抽象成了一颗树，那么判断叶子节点就不能用左右节点为空来判断了。
根据题意，当path.length=k时，说明找到了大小为k的组合，path存的就是根节点到叶子节点的路径。

if(path.length == k){
res.add(path)
return;
}

单层递归逻辑
通过每一次递归中嵌套一个for循环来达到多层循环的目的。
根据抽象的树状图可以看出来，每一次循环是从startIndex开始，把数组中的数放进单一结果集。
递归是从根节点往叶节点纵向遍历树，for循环时从左往右横向遍历树

for(int i=startIndex;i<=n;i++){
path.add(i); //处理节点
//----------错误的-------
//backtracking(n,k, startIndex+1);
backtracking(n,k, i+1);
//到了叶子节点，退出循环，此时需要进行回溯
path.remove(path.size()-1);
}

错误点：startIndex的作用是标识变量，只是起标识作用，循环的过程中控制取值的i

代码

List <List<Integer>> res = new ArrayList<>();
List<Integer> path = new  ArrayList<> ();
public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {
if (k <= 0 || n < k) {
    return res;
 }
backtracking(n,k,1);
return res;
}
void backtracking(int n,int k,int startIndex){
if(path.size() == k){
//------------错误点1----------
//res.add(path);
//修改
res.add(new  ArrayList<> (path));
return;
}
for(int i=startIndex;i<=n;i++){
path.add(i); 
//----------错误点2-------
//backtracking(n,k, startIndex+1);
//修改
backtracking(n,k, i+1);
path.remove(path.size()-1);
}
}

错误点1★★★★★: path的类型是List，这是以一个引用类型。
res.add(path)：将res尾部指向了path地址，后续path内容的变化会导致path的变化，那么这里存的永远是最后的空数组。
res.add(new ArrayList(path)):new ArrayList(coll）传入一个集合作为参数，从coll中复制元素，要先判断参数是否为null ，不然报错。这样每次添加时都会创建独立的空间。

参考文章
错误点2：startIndex的作用是标识变量，只是起标识作用标识从哪个数开始取值，真正控制取哪个值的是i

参考文章

总结

优化-剪枝

此题中，每一层的一个节点是for循环中的一次。
所以剪枝可以放在每一次循环的最开始的地方，如果for循环选择的起始位置之后的元素个数已经不足我们需要的元素个数了，那么就没有必要搜索了。

已经选择的元素个数:path.size()
还需要的个数:k-path.size()
当前元素:i
当前可选的个数:n-i+1
当前可选的个数>=需要的个数
n-i+1>=k-k-path.size() 化简之后i<=n+1-k+path.size()

for(int i=startIndex;i<=n+1-k+path.size();i++){
    path.add(i); 
    backtracking(n,k, i+1);
    path.remove(path.size()-1);
}