生成函数基础

定义

无穷数列 \(<a_0,a_1,a_2,\ldots>\) 的一般生成函数（OGF）是定义在形式幂级数环上的形式幂级数 \(A(z)=\sum_{i \geq 0} a_iz^i\)，它对应的 指数生成函数（EGF）是 \(\hat A(z)=\sum_{i \geq 0} a_i \frac{z^i}{i!}\)

一些常用的生成函数：

\[\begin{aligned} \frac{1}{1-z} &= \sum_{i \geq 0} z^i \\ \ln \frac{1}{1-z} &= \sum_{i > 0}\frac{1}{i}z^i\\ e^z &= \sum_{i \geq 0} \frac{z^i}{i!}\\ (1+z)^c &= \sum_{i \geq 0} \binom c i z^i\\ \frac{1}{(1-z)^c} &= \sum_{i \geq 0} \binom{c+i-1}{i}z^i\\ \end{aligned} \]

需要注意到我们其实是可以在实数上定义组合数的，有\(\binom n m = \frac{n^{\underline m}}{m!}\)

也可以定义二项式定理：\((x+y)^{n} = \sum_{k \geq 0} \binom {n}{k} x^k y^{n-k}\)。

基本操作

加法，乘法等简单运算可见多项式初步[]

牛顿迭代

\(x \equiv x_0-\frac{F(x_0)}{F'(x_0)} \pmod {x^{2n}}\)

求逆

可以考虑方程 \(\frac{1}{x}-F(z)=0\)（\(x\) 为目标多项式），代入牛顿迭代。

多项式除法/取模

考虑变换 \(R_A = x^nA(\frac{1}{x})\)，也就是系数翻转。

对数函数

要求常数项为 \(1\)，求导再积分即可。

指数函数

要求常数项为 \(0\)，方程 \(\ln x - F(z)=0\)，牛顿迭代，\(x \equiv x_0(1-\ln x_0 + G(z)) \pmod {x^{2n}}\)。实际上意义是 \(e^{F(x)} = \sum_{i \geq 0}\frac{F(x)^i}{i!}\)，有组合意义（图个数 EGF 与连通图个数 EGF 的互相转化）。

求幂

求 \(F^k(z) \pmod {z^n}\)

如果常数项为 \(1\)，考虑 \(F^k(z) = \exp (k\ln F(z))\)，快速计算。

常数项不为 \(1\) 时，可以整体乘一个常数项的逆元，

常数项为 \(0\) 时，整体平移。

时间复杂度 \(O(n \log n)\)

多点求值

\(n\) 次多项式 \(F\)，分别求 \(F(x_1),F(x_2),\ldots,F(x_m)\)。

做法 1

大常数做法，但在某些问题上没有替代性（比如范德蒙德行列式求值）（虽然我也不知道这是个啥 upd at 2020/12/22: 现在我知道这是个啥了）

性质：考虑令 \(F(x) = G(x)Q(x)+R(x)\)，如果 \(G(x) = 0\)，那么就会有 \(F(x) = R(x)\)。

不妨令 \(Q(x) = z-x_i\)，那么有 \(F(x_i) = R(x_i)\)，显然 \(deg_R < 1\)，常数项即为答案。

一句话总结：\(F(x_i) = F(z) \bmod (z-x_i)\)

考虑多项式还有一个类似于整数取模的性质：\(F(x) \bmod kA \bmod A = F(x) \bmod A\)，其中\(A,k\) 均为多项式。

于是可以考虑分治，我们预先用分治+FFT对于每一个分治结构上的节点对应的区间求出 \(\prod_{i=l}^r (z-x_i)\)。

假设当前在区间 \([l,r]\)，你得到的多项式应该是 \(F(x) \bmod \prod_{i=l}^r (z-x_i)\)，那么我们递归左边给左边 \(\bmod \prod_{i=l}^{mid} (z-x_i)\)，递归右边给右边 \(\bmod \prod_{i=mid+1}^r (z-x_i)\)，递归到最后节点 \([i,i]\) 的常数项就是答案。

时间复杂度是 \(O(n \log n + m \log^2 n)\)

做法 2

某知名 1s 5e5 多点求值

我们平时说的卷积，即 \((+,\times )\) 卷积，类比定义减法卷积为 \((-,\times )\)，记做 \(MULT(F(z),G(z)) = \sum_{i \geq 0} \sum_{j \geq 0} (f_{i+j}g_j)z^i\)。

则发现 \(F(x_i) = [z^0]MULT(F(z),\frac{1}{1-x_iz})\)（也就是直接 \([z^j]F(z) \times x_i^j\)）。并且不难发现\(MULT(F(z),G(z)H(z)) = MULT(MULT(F(z),G(z)),H(z))\)，因为 \(i-(j+k) = i-j-k\)。

于是我们考虑分治，预处理后根节点传入一个 \(MULT(F(z),\frac{1}{\prod_{i} (1-x_iz)})\)，每次向 \([l,mid]\) 传入 \(MULT(F_{[l,r]}(z),\prod_{i=mid+1}^r (1-x_iz))\)，\([mid+1,r]\) 类似。

不用写多项式取模，十分快速！

\(MULT(F(z),G(z))\) 具体实现可以把 \(G\) reverse，变成 \(i + (m-j)\) ，最后整体平移就好了。

快速插值

给定 \(n+1\) 个点，求一个次数不超过 \(n\) 的多项式 \(F(x)\)。

\(n^2\) 暴力是使用拉格朗日插值：\(F(z) = \sum_{i=0}^n F(x_i)\prod_{j \neq i}\frac{z-x_j}{x_i-x_j}\)。

如果对每个 \(i\) 算出 \(\prod_{j \neq i}(x_i-x_j)\)，就可以分治+FFT 计算。

令 \(G(z) = \prod_{i=0}^n (z-x_i)\)。

如果值域连续可以直接做，否则考虑每个点的答案就是 \(\frac{G(x)}{x-x_i}\)。上下都是 \(0\) 考虑洛必达一下，就变成了 \(G'(x_i)\) 然后多点求值就好了。

最后再类似多点求值那样分治求出 \(F(z)\) 。

复合

给定 \(F(z),G(z)\)，求 \(F(G(z)) \bmod z^n\)（\(G\) 常数项为 \(0\)）

展开：\(\sum_{i=0}^{n-1} f_iG^i(z) \pmod {z^n}\)

类似于 BSGS 那样 取 \(M = \lceil \sqrt n \rceil\)预处理 \(G(z),G^2(z),\ldots,G^M(z),G^{2M}(z),\ldots,G^{M^2}(z) \pmod {z^n}\)，先都 DFT 一下，然后按照定义计算，最后加起来 IDFT 回去即可。\(I(n^2 + n\sqrt n \log n)\)。

复合逆

给定 \(F(x)\)，满足 \([x^0]F(x) = 0,[x^1]F(x) = 1\)，求满足 \(G(F(z)) = z\) 的多项式 \(G(z) \bmod z\)。等价于 $F(G(z)) =z $。

如果直接按照定义牛顿迭代：\(F(x)-z = 0\)

\(x \equiv x_0 - \frac{F(x_0)-z}{F'(x_0)} \pmod {z^{2n}}\)，复杂度与计算复合$ F(x)$ 相同。

如果只要求一项的话 可以用拉格朗日反演做到优秀的复杂度。

拉格朗日反演：若 \(F(x) = z\)，则

\[[z^n]x = \frac{1}{n}[w^{n-1}](\frac{w}{F(w)})^n \]

\[[z^n]H(x)=\frac{1}{n}[w^{n-1}]H'(w)(\frac{w}{F(w)})^n \]

可以 \(O(n\log n)\)。

小应用：\(n\) 个点的二叉树计数。

OGF是 \(F(z) = z(1+F(z))^2\)，现在想求复合逆 \(G(z)\)。

\[\begin{aligned} F(G(z)) &= z\\ &= G(z)(1+F(G(z)))^2\\ &= G(z)(1+z)^2\\ \Rightarrow G(z) &= \frac{z}{(1+z)^2} \end{aligned} \]

于是

\[\begin{aligned} [z^n]F(z) &= \frac{1}{n}[w^{n-1}](\frac{w}{G(w)})^n\\ &= \frac{1}{n}[w^{n-1}](\frac{w}{\frac{w}{(1+w)^2}})^n\\ &= \frac{1}{n}[w^{n-1}](1+w)^{2n}\\ &= \frac{\binom {2n} {n-1}}{n} \end{aligned} \]

\(k\) 叉树也能这么做。

特别应用：考虑在特殊的二元生成函数上做一个拉格朗日反演

\[[z^n]\frac{1}{1-uF(z)}=\frac{1}{n}[w^{n-1}](\frac{1}{1-uw})' (\frac{w}{F^{-1}(w)})^n \]

当 \(F^{-1}(w)\) 可以快速求得时，这个式子可以 \(O(n \log n)\) 计算。
简单运用：求 \([z^n]F(z),[z^n]F^2(z),\ldots,[z^n]F^n(z),\)
相当于计算 \([z^n]\frac{1}{1-uF(z)}\) 当 \(F(z)\) 有复合逆的时候可以快速计算（其实维护二元生成函数也不是很快）

常系数线性递推

设初始值分别为 \(f_0,f_1,\ldots,f_{m-1}\)

设 \(A\) 为转移矩阵，考虑我们实际上是想快速求出 \(A^n\)

根据 Hamilton-Cayley theorem ，设 \(f(\lambda)\) 为\(A\) 的特征多项式（即 \(f(\lambda) = |\lambda I-A|\) 可以得到 \(f(A) = 0\)

考虑多项式 \(x^n\) 对 \(f(x)\) 取模，得到 \(x^n = f(x)Q(x)+R(x)\)，代入 \(x=A\)，得到 \(A^n = R(A)\)。

如果设初始向量为 \(\vec a\)，那么答案是

\[\begin{aligned} f_{n+1} &= (v \times A^n)_{1,1}\\ &= (v \times R(A))_{1,1}\\ &= (v \times \sum_{i=0}^{m-1} b_iA^i)_{1,1}\\ &= \sum_{i=0}^{m-1} b_i \times (v \times A^i)_{1,1}\\ &= \sum_{i=0}^{m-1} a_{i+1}b_i \end{aligned} \]

最后一个问题是如何得到特征多项式。如果设转移系数为 \(g_0,g_1,\ldots,g_{m-1}\)，写出矩阵：

\[A=\left(\begin{matrix} \lambda-g_0 & -g_1 & -g_2 & \cdots & -g_{k-3} & -g_{k-2} & -g_{k-1}\\ -1 & \lambda & 0 & \cdots & 0 & 0&0 \\ 0 & -1 & \lambda & \cdots & 0 & 0&0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -1 & \lambda & 0\\ 0 & 0 & 0 & \vdots & 0 & -1 & \lambda \end{matrix}\right) \]

考虑对第一行展开：

\(f(\lambda) = A_{1,1}(\lambda-g_0)-a_2A_{1,2}-\ldots-a_kA_{1,k}\)

其中 \(A_{i,j}\) 表示 \(i\) 行 \(j\) 列的代数余子式。

最终可以得到 \(f(\lambda) = \lambda^k-\sum_{i=0}^{k-1} g_i \lambda^{k-i-1}\)。

倍增+多项式取模，\(O(n \log n \log k)\)

题目

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先考虑如果不拿走咋做：设\(f_{i,j}\) 表示考虑了前 \(i\) 个物品，等级为 \(j\) 的概率，转移是 \(f_{i,j} = p_if_{i-1,j-1}+(1-p_i)f_{i-1,j}\)

设 \(F_i(z)\) 表示 \(f_i\) 的生成函数，转移可以写成 \(F_i(z) = p_iF_{i-1}(z)z+(1-p_i)F_{i-1}(z)\)，其中 \(F_0(z) = 1\)。

\[\begin{aligned} F_i(z) &= F_{i-1}(z)(p_iz+1-p_i)\\ &= \prod_{j=1}^i (p_iz+1-p_i) \end{aligned} \]

那么答案的生成函数就是 \(F(z) = MUL(F_n(z),\sum_{i=0}^{n-1}a_ix^i)\)。

删掉第 \(i\) 个物品的生成函数是 \(G_i(z) = MUL(\frac{F_n(z)}{p_iz+1-p_i},\sum_{i=0}^{n-1}a_ix^i)\)。

发现 \(MUL(AB,C) = MUL(A,C)B\)，因为 \(i+j-k = i-k+j\)。

所以相当于就是求第 \(i\) 个位置除一个二项式后的多项式的 \(z^0\) 的系数。

类似多点求值，写一个分治：预处理每个节点的 \(\prod_{i=l}^r (p_iz+1-p_i)\)。最初传入 \(\frac{F}{\prod_{i-1}^n (p_iz+1-p_i)}\)，每次将右边的多项式乘到左边，左边的多项式乘到右边。时间复杂度 \(O(n \log^2 n)\)。