在动态规划（DP）问题中，有一类高频场景格外“友好”——它们基于线性序列展开，状态仅依赖最近1-2步的结果，不仅逻辑清晰，还能将空间复杂度从O(n)优化到O(1)。本文将通过线性打家劫舍、股票交易II、爬楼梯三个典型例题，拆解这类“近步依赖DP”的共性，并提炼通用解题思路，帮你快速掌握这类问题的核心解法。

一、典型例题解析：从具体到抽象

1. 线性打家劫舍：不偷相邻的“二选一”决策

题目背景

你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋。每间房内都藏有一定的现金，影响你偷窃的唯一制约因素是：相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警。给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你不触动警报装置的情况下，一夜之内能够偷窃到的最高金额。

完整代码（滚动变量优化版）

def rob(nums):
    # 定义滚动变量：prev记录前2间的最大金额，curr记录前1间的最大金额
    prev, curr = 0, 0
    for num in nums:
        # 状态转移：不偷当前房（沿用curr） vs 偷当前房（prev + 当前金额）
        prev, curr = curr, max(curr, prev + num)
    return curr

# 测试案例
print(rob([1,2,3,1]))  # 输出4（偷1和3）
print(rob([2,7,9,3,1]))# 输出12（偷2、9、1）

核心逻辑拆解

  • 状态定义：没有用传统的dp[i]（前i间房的最大金额），而是用两个变量滚动记录关键状态：
    • prev：遍历到当前房屋时，前2间房屋能偷到的最大金额（避免与当前房屋相邻）；
    • curr：遍历到当前房屋时，前1间房屋能偷到的最大金额。
  • 状态转移：每个房屋只有两种选择，取最大值即可：
    1. 不偷当前房：最大金额 = 前1间的最大金额（curr）；
    2. 偷当前房：最大金额 = 前2间的最大金额 + 当前房屋金额（prev + num），因为偷了当前房就不能偷前1间。
  • 空间优化：无需存储整个DP数组，仅用两个变量，空间复杂度从O(n)降至O(1)。

2. 股票交易II：无限次交易的“持有/不持有”状态

题目背景

给定一个数组prices，其中prices[i]表示一支给定股票第i天的价格。你可以无限次地完成交易（多次买入和卖出一支股票），但你必须在再次购买前出售掉之前的股票。设计一个算法计算你所能获取的最大利润。

完整代码（一维数组优化版）

def maxProfit(prices):
    if not prices:
        return 0
    # 一维数组：dp[0]不持有股票的最大利润，dp[1]持有股票的最大利润
    dp = [0, -float('inf')]
    for price in prices:
        # 先更新不持有状态：前一天不持有 或 前一天持有今天卖出（+当前价格）
        dp[0] = max(dp[0], dp[1] + price)
        # 再更新持有状态：前一天持有 或 前一天不持有今天买入（-当前价格）
        dp[1] = max(dp[1], dp[0] - price)
    # 最后必须不持有股票（持有会浪费利润）
    return dp[0]

# 测试案例
print(maxProfit([7,1,5,3,6,4]))  # 输出7（1买5卖、3买6卖）
print(maxProfit([1,2,3,4,5]))    # 输出4（1买5卖，或多次小交易）

核心逻辑拆解

  • 状态定义：同样放弃传统dp[i][0/1]（第i天的持有状态），用长度为2的一维数组记录最近状态：
    • dp[0]：遍历到当前天，不持有股票的最大利润；
    • dp[1]：遍历到当前天，持有股票的最大利润（初始设为负无穷，因为第一天不买就不能持有）。
  • 状态转移：每天的决策围绕“持有”和“不持有”切换，且仅依赖前一天的状态：
    1. 不持有股票：要么前一天就不持有（dp[0]），要么前一天持有、今天卖出（dp[1] + price，卖出赚钱）；
    2. 持有股票：要么前一天就持有（dp[1]），要么前一天不持有、今天买入（dp[0] - price，买入花钱）。
  • 关键顺序：必须先更新dp[0]再更新dp[1]，避免dp[0]的新值覆盖旧值，导致dp[1]计算错误。

3. 爬楼梯：步数依赖的“累加”计算

题目背景

假设你正在爬楼梯，需要n阶才能到达楼顶。每次你可以爬1或2个台阶，请问有多少种不同的方法可以爬到楼顶？（注意：给定n是一个正整数）

完整代码（滚动变量优化版）

def climbStairs(n):
    # 边界条件：1阶1种方法，2阶2种方法
    if n <= 2:
        return n
    # 滚动变量：a记录n-2阶的方法数，b记录n-1阶的方法数
    a, b = 1, 2
    for _ in range(3, n + 1):
        # 状态转移：n阶方法数 = n-1阶 + n-2阶（最后一步走1阶或2阶）
        a, b = b, a + b
    return b

# 测试案例
print(climbStairs(2))  # 输出2（1+1、2）
print(climbStairs(5))  # 输出8（1+1+1+1+1、1+1+1+2、1+1+2+1等）

核心逻辑拆解

  • 状态定义：用两个变量记录“前两步”的方法数，因为第n阶的方法数仅依赖前两阶：
    • a：第n-2阶的方法数；
    • b：第n-1阶的方法数。
  • 状态转移：每阶的方法数是前两阶之和（最后一步要么走1阶，要么走2阶），即b = a + b，同时更新a为原来的b（滚动向前）。
  • 边界处理：直接处理n<=2的情况，避免循环中的初始值问题，逻辑更简洁。

二、核心共性提炼：这类问题的3个关键特征

通过上述三个例题，我们可以发现“线性序列近步依赖DP”的本质共性，这也是它们能被优化到O(1)空间的根本原因：

共性特征 线性打家劫舍 股票交易II 爬楼梯
1. 线性序列结构 房屋数组是有序线性结构，按顺序决策 价格数组是时间线性序列，按天决策 台阶是有序线性结构，按阶计算
2. 有限决策选择 每个房屋“偷”或“不偷”（2选1） 每天“持有”或“不持有”（2选1） 每阶“走1步”或“走2步”（2选1）
3. 近步状态依赖 依赖前2步（prev、curr）的状态 依赖前1步（dp[0]、dp[1]）的状态 依赖前2步（a、b）的状态

三、通用解题思路：4步搞定近步依赖DP

掌握以下4个步骤，遇到这类问题就能快速切入，无需从头推导：

步骤1：识别问题特征，确认是否属于“近步依赖”

先问自己3个问题，满足则大概率是这类问题：

  1. 问题是否基于有序线性结构（数组、时间序列、台阶等）？
  2. 每个节点的决策是否只有2种或固定少数几种互斥选择（偷/不偷、持有/不持有、走1/2步）？
  3. 每个选择的结果是否仅依赖最近1-2步的状态，无需追溯更早的历史？

步骤2：定义“滚动状态”，放弃完整DP数组

无需定义dp[i]（前i个节点的状态），直接用2个变量或长度为2的一维数组，记录“最近1-2步”的关键状态。核心原则：

  • 依赖前2步 → 用2个独立变量（如打家劫舍的prev/curr、爬楼梯的a/b）；
  • 依赖前1步且有2种状态 → 用长度为2的一维数组（如股票II的dp[0]/dp[1]）。

步骤3：推导状态转移方程，聚焦“二选一”逻辑

针对每个节点的两种选择，用max（求最大收益/金额）或+（求方法数/累加值）连接历史状态与当前节点值，形成转移方程：

  • 求最大值场景（打家劫舍、股票交易）：新状态 = max(选择1结果, 选择2结果)；
  • 求累加值场景（爬楼梯）：新状态 = 选择1结果 + 选择2结果。

步骤4：处理边界条件，初始化滚动变量

根据问题的“初始状态”（序列的前1-2个节点），给滚动变量赋合法初始值，避免遍历开始时状态异常：

  • 打家劫舍：初始prev=0、curr=0（无房屋时金额为0）；
  • 股票II：初始dp[0]=0（无交易利润为0）、dp[1]=-inf（未买入不能持有）；
  • 爬楼梯：初始a=1、b=2（对应1阶和2阶的方法数）。

四、拓展思考：如何应对更复杂的近步依赖问题？

如果遇到“3种选择”或“依赖前3步”的问题（如“每次可以走1、2、3阶”的爬楼梯），只需微调思路：

  1. 选择数增加：若有3种选择（如偷/不偷/观望），可增加状态变量（如dp[0]/dp[1]/dp[2]）；
  2. 依赖步数增加：若依赖前3步，可增加滚动变量数量（如用a/b/c记录前3步状态）。

核心不变：只保留“关键的最近几步状态”，放弃完整DP数组，始终让空间复杂度保持在O(1)。

总结

线性序列近步依赖DP是DP问题中的“性价比之王”——逻辑简单、代码精简、空间高效。记住“线性结构+有限选择+近步依赖”的核心特征，套用“识别特征→定义滚动状态→推转移方程→处理边界”的四步思路，你就能轻松搞定这类高频题目。