BZOJ 2693 jzptab

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2693

 

题解：

考虑把lcm转化成gcd
那答案就是

然后神奇的设：

就有：

一样可以枚举

 的取值，这是O(√n)的；

然后求f(x,y)；

大概证明了一下= =

线性筛之后也可以O(√n)求出f(x,y)
总复杂度O(n)，常数略大。。

这题显然是卡O(n)过不了呗
那就还得优化

预处理这玩意

然后O(√n)就搞出来啦！

设

“积性函数的约数和也是积性函数”  ->好像比较显然?
所以g(D)是积性函数
线性筛裸上就好

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
const ll Mod=100000009;
ll g[10010005],p[10010005],sum[10010005];
bool mark[10010005];
ll read(){
    ll t=0,f=1;char ch=getchar();
    while (ch<'0'||ch>'9'){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while ('0'<=ch&&ch<='9'){t=t*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return t*f;
}
void init(){
    g[1]=sum[1]=1;
    for (ll i=2;i<10010000;i++){
        if (!mark[i]){
            p[++p[0]]=i;
            g[i]=(ll)((i-i*i)%Mod+Mod)%Mod;
        }
        for (ll j=1;j<=p[0]&&p[j]*i<=10010000;j++){
            mark[i*p[j]]=1;
            if (i%p[j]==0){
                g[i*p[j]]=g[i]*(p[j])%Mod;
                break;
            }else
            g[i*p[j]]=g[i]*g[p[j]]%Mod;
        }    
        sum[i]=sum[i-1]+g[i];
    }
}
ll F(ll x,ll y){
    return (((x*(x+1)/2LL)%Mod)*((y*(y+1)/2LL)%Mod))%Mod;
}
int main(){
    init();int T=read();
    while (T--){
        ll n=read(),m=read();
        if (n>m) std::swap(n,m);
        ll j;ll ans=0;
        for (ll i=1;i<=n;i=j+1){
             j=std::min(n/(n/i),m/(m/i));
             ans+=((sum[j]-sum[i-1]%Mod+Mod)%Mod)*F(n/i,m/i);
             ans%=Mod;
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
}