平面图转换成对偶图的应用

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一个图G=(V,E),若能将其画在平面上,且任意两条边的交点只能是G的顶点,则称G可嵌入平面,或称G是可平面的。可平面图在平面上的一个嵌入称为一个平面图。如下图左边黑色的图为平面图,右边红色的图不属于平面图:

 

由平面图的边包围而成,其中不含图的顶点。也称为面。包围面R的所有边组成的回路称为该面的边界,回路长度称为该面的度,记为deg(R)。具有相同边界的面称为相邻面。由平面图的边包围且无穷大的面称为外部面。一个平面图有且只有一个外部面。如下面的平面图中,R0是外部面R0与R1, R2, R3均相邻。deg(R0)=8, deg(R1)=4, deg(R2)=5(R2经过的顶点序列为v7-v4-v6-v4-v5-v7), deg(R3)=1:
 

 

利用欧拉公式和数学归纳法可以证明平面图G的所有面的度之和等于其边数|E|的2倍,即:
对偶图的应用
下面我们引入对偶图,设有平面图G=(V,E),满足下列条件的图G'= (V',E') 称为图G的对偶图:G的任一面Ri内有且仅有一点Vi';对G的域Ri和Rj的共同边界Ek,画一条边Ek'=(Vi',Vj')且只与Ek交于一点;若Ek完全处于Ri中,则Vi'有一自环Ek',如下图G'是G的对偶图:

 

1 最大流的应用
    如果网络流中的图G可以转化为一个平面图,那么其对偶图G'中的环对应G中的割,利用最大流最小割定理转化模型,根据平面图G'与其对偶图的关系,先求出最小割。首先连接s和t,如下图蓝色虚线,得到一个附加面,我们设附加面对应的点为s',无界面对应的点为t',求该图的红色的对偶图G',最后删去s'和t'之间的边:
 

 

一条从s'到t'的路径,就对应了一个s-t割,更进一步,如果我们令每条边的长度等于它的容量,那么最小割的容量就等于最短路的长度。这样时间复杂度大大降低了。
注意 如果是有向边,那么就统一顺时针旋转90度
posted @ 2016-06-12 21:15  GFY  阅读(4944)  评论(0编辑  收藏  举报