基于有限状态自动机分析KMP字符串匹配算法
一 定义
1 主串S = s1s2…sn, 即由n个字符组成的字符串
2 模式串T=t1t2…tm,即由m个字符组成的字符串
3 字符串匹配问题定义:给定主串S与模式串T,若S中含有T,返回T第一次出现的位置,否则返回-1.
二 普通做法
for(int i = 0; i < n; i++){
for(int j = 0; j < m && s[i + j]==t[j]; j++);
if(j == m) return i;
}
return -1;
三 有限状态自动机
有限状态自动机可以用5元式定义,即输入字符集,状态集,初始状态集,接受状态集,状态转移函数.
我们常用的正则表达式其实就是有限状态自动机,能够用有限状态自动机表示的语言即为正则语言.
字符串匹配本质也是一个模拟有限状态自动机的过程,即构造一个FA, 该FA只接受所有含有字符串T的字符串.若输入串S被该FA接受,则表明S含有T.
假设T=”ababcab”
其上述普通做法所模拟的FA可以描述如下:
每次内层循环开始,状态为0,若下一个字符串为a,则状态转为1,也即j++,直到j=7,即识别了字符串”ababcab”,到达了接受状态7. 相反,假设在状态2时,下一个输入字符不是’a’，则匹配失败，此时应该重新回归起始状态，在代码中的具体体现就是退出内层循环，i++，再进入内层循环，此时j=0，即重新从状态0开始。
但是上述FA不是通常意义上的FA，其效率非常低，有两个原因：
1） 每次匹配失败，状态重新回归0，即j=0。
2） 每次匹配失败，回退1…j个字符，即i=i+1，本来已经读取到了i+j。
上述两个回退分别体现在内循环与外循环，，比如我们在j=2时发现匹配失败，此时已经读取了i+2个字符，但是退出内层循环，只是i++，再重复读取字符，即从i+1开始重复读取字符，而第i+1，i+2个字符已经被读取了，按道理不应该重复计算。并且状态2应该具有对历史匹配的记忆能力，即状态2表示了0->1->2的过程，表示“ab”已经匹配了。
如何利用这些已知匹配信息来提高计算速度呢？主要从两点入手：
1） 每次匹配失败，状态回归到最近一个等价状态，比如状态3的等价状态应该是1，因为1表示已匹配字符‘a’，而3表示已匹配‘aba’，当然不能说1与3完全等价，只有在接下来的输入不是b时，状态3可看作与1等价因为，此时表示”aba”匹配没有意义，最多只有最后1个“a”还有意义，因为0->1也是表示匹配“a”，所以可以看作3与1等价。
2） 主串不需要回退，即不再需要外层循环。
首先我们可以假设任意一个状态具有两个跳转函数，其中1个若读取匹配的字符，跳转到下一个状态即i++, j++，另外一个即空跳转（读取ε）到初始状态0，当然空跳转只是在不匹配的情况下才使用，即j=0，注意由于是空跳转，即表示不读取任何输入，此时i不变，这也是合理的，因为si!=tj，那么留着si用于接下来的匹配。
根据以上分析，我们可以得出下属FA：
分析：
1） 状态0时，若输入不是a，则0->0；这里不是空跳转，注意若在起始状态如果不断空跳转，那么程序中的表现即i不变，陷入死循环。
2） 对于任意状态k,若不匹配，则需要回退到前面的状态，在前面我们都是让其回归初始状态，为了提高效率，让其回归最近一个“等价”状态，那么如何计算最近1个等价状态呢？
定义“等价”状态函数next[k]，设想我们先找k的前状态k-1的等价状态next[k-1]，若t[next[k-1]] = t[k-1]，即表示next[k-1]->next[k-1]+1与k-1->k的跳转条件相同，那么可定义next[k] = next[k-1]+1，形象来说，即k-1的等价状态next[k-1]表示0,…,next[k-1]-1个字符与k-next[k-1], … ，k-1个字符相同，那么如果第next[k-1] 个字符与k-1个字符相同，相当于0,…,next[k-1] = k-next[k-1],…,k 即表示next[k]=next[k-1]+1，但是这是一个递推的过程，即如果t[next[k-1]] = t[k-1]，那么判断是否t[next[next[k-1]]]=t[k-1]
在此可以定义next函数为：
若k=0, 则next[k]=-1/*设其为-1，一方面可以在下述递推中作为终止条件，另外也可以在0状态时，避免空跳转*/
若k>0, 且 t[k-1]=t[next[k-1]], 则next[k]=next[k-1]+1，否则递推判断是否t[k-1]=t[next[next[k-1]]],…;否则next[k]=0
具体程序Java实现如下：
int index(char src[], char pattern[])
{
int[] next = getNext(pattern);
int i = 0, j = 0;
while(i < src.length && j < pattern.length){
if(j == -1){ //起始位置不匹配,继续往前读
i++;
j = 0;
}
else if(pattern[j] == src[i]){ //状态转移
i++;
j++;
}
else j = next[j]; //只改变状态j,i不变,即空跳转
}
if(j == pattern.length) return i - j;
else return -1;
}
int[] getNext(char pattern[])
{
int[] next = new int[pattern.length];
next[0] = -1;
for(int i = 1; i < next.length; i++){
next[i] = 0; //初始化为0
int j = i - 1;
while(next[j] >= 0){ //递推求解next,-1为终止条件,即j=0时
if(pattern[i - 1] == pattern[next[j]]){
next[i] = next[j] + 1;
break;
}
else j = next[j];
}
}
return next;
}
