杜教筛小结

写在前面

杜教筛是一种快速求积性函数前缀和的算法。
和洲阁筛一起写在『积性函数求和的几种办法』这一篇论文中，
有兴趣可以阅读一下。

前置知识

积性函数

数论函数: 指定义域为正整数、陪域为复数的函数

积性函数：对于任意互质的整数a和b有性质\(f(ab)=f(a)f(b)\)的数论函数。

完全积性函数：对于任意整数a和b有性质\(f(ab)=f(a)f(b)\)的数论函数。

常见的积性函数：

φ(n) －欧拉函数

μ(n) －莫比乌斯函数，关于非平方数的质因子数目

gcd(n,k) －最大公因子，当k固定的情况

d(n) －n的正因子数目

σ(n) －n的所有正因子之和

1(n) －不变的函数，定义为 1(n) = 1 （完全积性）

Id(n) －单位函数，定义为 Id(n) = n（完全积性）

ε(n) －定义为：若n = 1，ε(n)=1；若 n > 1，ε(n)=0。别称为“对于狄利克雷卷积的乘法单位”（完全积性）

λ(n) －刘维尔函数，关于能整除n的质因子的数目

摘自百度百科。

性质：$ f(n) = f(\prod_{p} p_i^{k_i}) = \prod f(p_i^{k_i})$

狄利克雷卷积:
两个函数\(f\), \(g\), 他们的狄利克雷卷积为: \((f * g)(n) = \sum_{d | n} f(d) \times g(\frac{n}{d})\)
其满足交换律，结合律，分配率。
若\(f\),\(g\)是积性函数，那么\(f∗g\)也是积性函数。

\[1 * \mu = \varepsilon \\ 1 * \varphi = Id \\ \mu * Id = \varphi \]

然后就可以开始讲正题了：
考虑三个函数，满足： $ f * g = h \( 记他们的前缀和：\) f:F, g:G, h: H$
那么：

\[H(x) = \sum_{n = 1} ^ {x} h(n) \\ = \sum_n \sum_ {d | n} f(d)g(\frac{n}{d}) \\ = \sum_{d = 1}^{x} \sum_{n = 1}^{\lfloor \frac{x}{d} \rfloor} f(d)g(n)\\ = \sum_{d = 1}^{x} f(d) \sum_{n = 1}^{\lfloor \frac{x}{d} \rfloor} g(n)\\ = \sum_{d = 1}^{x} f(d)G(\lfloor \frac{x}{d} \rfloor) \\ = \sum_{d = 1}^{x} g(d)F(\lfloor \frac{x}{d} \rfloor) \\ g(1)F(n) = H(n) - \sum_{d = 2}^{x} g(d)F(\lfloor \frac{x}{d} \rfloor) \]

只要能快速求出H(n), g(d)(然后就可以\(O(n ^ \frac{2}{3})\) 简单的求出\(F(n)\))

Example:

求$$\sum_{i = 1}^{n} \varphi(i) ~~ \sum_{i = 1}^{n} \mu(i)$$

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\[\sum_{n = 1}^{x} \varphi(n) = \frac{x * (x + 1)}{2} - \sum_{i = 2}^{x}\varphi(\lfloor \frac{x}{i} \rfloor) \\ \sum_{n = 1}^{x} \mu(n) = 1 - \sum_{i = 2}^{x}\mu(\lfloor \frac{x}{i} \rfloor) \]