线性DP——子序列问题浅谈

很多人都不理解为什么可以用 f i 表示一个最长上升子序列大小？

那么我们可以看一下这个“上升”二字这才是这种类型问题的重点——上升要求的是什么？

不就是单调递增，即后一个比前一个大，所以只需要求这个序列的最后一个数的下标就行了。

类比的，这道题https://www.luogu.com.cn/problem/P4933

简化题目：

在给定的序列中找不同的等差数列（可以不连续）

那么我们只需要记什么？

公差——在最长上升子序列中我们本来要求记下来最后一个数，但是我们拥有了当前下标i，所以不需要记

而这道题：

对于两个数字，他们组成的等差数列的公差一定是一样的

那么我们不必去枚举公差，直接枚举第 i 个数前面那个数，得到公差进行转移即可

用 f[i][j]表示以 i 结尾公差为 j 的等差数列个数

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e3+10;
const int T=20010;
const int M=998244353;
long long f[N][T+T+30],h[N];
int n;
long long ans;
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&h[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        ans=(ans+1)%M;
        for(int j=i-1;j>=1;j--){
            f[i][h[i]-h[j]+T]=(f[i][h[i]-h[j]+T]+1+f[j][h[i]-h[j]+T])%M;
            ans=(f[j][h[i]-h[j]+T]+ans+1)%M;
        }
    }
    cout<<ans;
}

 总结：线性DP绝大部分都是要找最优子结构的，在贪心里也是同样的，但是我们对于“模板化”的东西不能太迷恋，这也是线性dp的魅力，DP先用一个数组来描述问题答案，在去求解！