模拟退火算法详解

别着急，干货在最后面！！！

（本文用c++实现，可以在评论区讨论，后面还有情况的话还会更新，有问题欢迎指正哦~）

可以在右上角看目录，左下角点歌哦（不行的话刷新一下就好了~）

本文章也介绍了模拟退火的使用情景，以免误入歧途（本蒟蒻就是）。

很多人都学过贪心，但是贪心在一些情况并不适用，比如：

已知我们从黄色出发，找最小值。

贪心策略当然是一直往函数大小减小的地方偏移——但是，万一不是单谷呢？我们会陷入如图的蓝色中无法自拔。

肯能你会想到：随机找一个点出发，然后贪心找最小值？多随机几遍，然后求全局最小值？

你会发现复杂度暴增！！！！！！！！——所以如何处理这种问题呢？

模拟退火：啊，对对对~

是的！模拟退火就是一种类似于随机化贪心的一个算法，在OI界也小有名气（冥器）！（如题[NOIP2021] 方差 ）

原理图：

如图：在物理应用中分子排布可能是紊乱的，如果我们将它升温然后缓慢降温，就可以生成完美的晶形！

而对于我们求解的：

 

怎么形象描述它呢？

一个有自己一定卡路里的人爬山，想翻山找远方的草药给自己心爱的妻子，但是他并不知道山的那头是什么。所以他会在卡路里多的时候尽量去远方探险，但是每次会花费卡路里以至于他后面不能翻过太高的山丘，而且他的背包蛮大的，装填着无数爱的草药而芳香四溢。

所以我们立刻（啊，对对对~）能设定模拟退火的参数：

1.初始温度 T （1000-7000）

2.末尾温度 P（1e-6~1e-15）

3.降温系数 K (0.91~0.9975)

4.状态空间（被降温物体） S

5.当前能量 E(new)

6.全局能量 E(old)

一：Metropolis准则

以概率接受新状态：

 

 

 

这就是物理（化学）方面类似的推论——一定概率的更新。

什么意思呢？

我们已知：当前能量 E ( new ) ， 全局能量 E （ old ），那么我们的目标是什么，不就是减少目前的能量吗？

所以：当当前能量少于全局能量（即更新前的能量），那么我们有概率为 1 的更新概率；

　　    当当前能量大于全局能量（即更新前的能量），那么我们有概率为 exp（ - (E( new )-E( old ))/T） 的更新概率 ( T为当前温度)

[exp(x)函数：e的x次方的函数  如 exp(1)表示e的1次方=e=2.718281828…  exp(0)表示e的0次方=1  exp(2)表示e的平方=7.3890561…  e是一个常数，等于2.718281828…]；

注意：有时候也不一定以以上方式更新，这只是比较妥的做法，概率方面是可以自己定的，但是一定以当前能量与全局能量的关系来设定的。（除非直接暴力的随机算法）

二：生成新温度

那么怎么生成新的当前温度呢？，以生成小数为例：

当前将更新温度=全局温度+(rand()*2-RAND_MAX)*t;
if(不在状态空间内){
    当前将更新温度=fmod(当前将更新温度,状态空间大小)
}

  即：在当前状态的邻域结构内以一定概率方式（均匀分布、正态分布、指数分布等）产生。

三：温度更新函数

若固定每一温度，算法均计算至平稳分布，然后下降温度，则称为时齐算法；

若无需各温度下算法均达到平稳分布，但温度需按一定速率下降，则称为非时齐算法。

本人用的：

T*=K;

四：外循环终止准则 

本人使用的：

(t>1e-15)//可以改大一点

其他常用方法：

    （1）设置终止温度的阈值。

    （2）设置外循环迭代次数。

    （3）算法搜索到的最优值连续若干步保持不变。

    （4）概率分析方法。

五：实现流程图：

六：关于其他类似算法的优缺点比较

遗传算法：其优点是能很好地处理约束，跳出局部最优，最终得到全局最优解。缺点是收敛速度慢，局部搜索能力弱，运行时间长，容易受到参数的影响。

模拟退火：具有局部搜索能力强、运行时间短的优点。缺点是全局搜索能力差，容易受到参数的影响。

爬山算法：显然爬山算法简单、效率高，但在处理多约束大规模问题时，往往不能得到较好的解决方案。

七：退火口诀：

初始温度小心设(1000-3000)，又粗又大wa一脸

多次sa更保险，忘了卡时直接T[if((double)clock()/CLOCKS_PER_SEC>=0.993)]（七遍模拟退火也行）

退火系数大胆设，不过0.9975会很厄

全局、状态不一样，全局必须菊部优

百年骗分一场空，不开srand见祖宗

退火需谨慎，退火不规范，灵封两行泪

八：使用条件：

我们可以看下这道题：https://www.luogu.com.cn/problem/P6879

第一次做看到最优解我直接退火了，要不是捆绑数据还以为自己正确了。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=500;
const double dw=0.9975;
int resx,n,ans,l,T[N];
long long a[N];
bool st[N];
int em(int x){
	memset(st,false,sizeof st);
	int res=0,pd=0;
	pd=min(abs(x-0),abs(x-l));
	for(int i=1;i<=n*2;i++){
		if(abs(a[i]-x)+pd<=T[i]&&!st[i]){
			res++;st[i%(2*n)]=st[(i+n)%(2*n)]=true;
		}
	}
	return res+(rand()-RAND_MAX+1)%2;
}
void sa(){
	double t=1500;
	while(t>1e-15){
		int x=abs(resx+rand()*2-RAND_MAX+1)%l;
		int e=em(x),dt=ans-e;
		if(dt<0){
			ans=e;resx=x;
		}else if(exp((double)(-dt/t))*RAND_MAX<rand()){
			resx=x;
		}
		t*=dw;
	}
}
int main(){
	srand((unsigned)time(0));
	cin>>n>>l;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%lld",&a[i]);
		a[i+n]=a[i]+l;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&T[i]);
		T[i+n]=T[i];
	}
	l*=2;
	ans=em(0);
	sa();sa();sa();sa();sa();sa();sa();
	cout<<ans; 
}

　　

发现可以A掉一部分？其实是不对滴——计算当前物品能量的函数写的并不是正确的。

因为当你到了圆上的一点后，发现你仍然需要下一步决策走向最优解，而并不是直接可以计算出来可以得到的贡献值。

这不禁让我反思——退火可以解DP题吗？

我们可以观察一下这道题：大的最优解是由更小的最优解转移过来的，就像一个树形结构，由子节点向父节点转移，像这样的题是不可以用退火的。

但是比如01背包， [NOIP2021]方差 和等类贪心题目是可以做的，因为你可以通过概率水掉局部最优解对全局最优解的不可转移。

所以，每次做题要看退火的当前能量计算复不复杂，有没有子问题的限制！

然后是[NOIP2021]方差的实现（玄学万岁）：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
const int N=1e5+10;
const double dw=0.9975;
int a[N],n,c[N];
long long ans;
bool cmp(int a,int b){
    return a>b;
}
LL en(){
    LL em=0;
    LL ranss=0;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        a[i]=a[i-1]+c[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        em+=(long long)a[i]*a[i];
    }em=(long long)em*n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        ranss=(long long)ranss+a[i];
    }ranss=(long long)ranss*ranss;
    return (long long)(em-ranss);
}
void sa(){
    double t=1000;
    while(t>1e-15){
        if((double)clock()/CLOCKS_PER_SEC>=0.993){
            cout<<ans;
            exit(0);
        }
        int x=rand()%(n-1)+2,y=rand()%(n-1)+2;
        while(x==y)x=rand()%(n-1)+2;
        swap(c[x],c[y]);
        LL m=en(),dt=ans-m;
        if(dt>0){
            ans=m;
        }else if((double)rand()>=(double)RAND_MAX*(double)exp((double)dt/t)){
            swap(c[x],c[y]);
        }
        t*=dw;
    }
}
int main(){
    srand((unsigned)time(0));
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
        c[i]=a[i]-a[i-1];
    }
    sort(c+2,c+n/2+1,cmp);
    sort(c+n/2+1,c+n+1);
    ans=en();
    while(1)sa();
}

 附赠导论：骗分。