[JSOI2018] 潜入行动

题意

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在 \(n(\leq 10^5)\) 个点选 \(k(\leq 100)\) 个点, 被选出的点周围的点不包括自己都会被覆盖，求所有点都被覆盖的方案数。

树形背包

其实就是简单的树形背包，分类讨论清楚就行了。

状态

\(f[u][k][1/0][1/0]\) 表示节点 \(u\), 已经选了 \(k\) 个点，现在 \(u\) 是否被覆盖，\(u\) 是否被选, 并且除了根外所有节点都被覆盖。

初始状态

对于一个点的树，\(f[u][0][0][0] = f[u][1][0][1] = 1\)。

转移

考虑两个树合并，每个结点最开始是一个点的树, 以下的转移都满足状态。

\(f[u][k][0][0] = f[u][i][0][0] * f[v][j][1][0]\)

\(f[u][k][0][1] = f[u][i][0][1] * (f[v][j][0][0] + f[v][j][1][0])\)

\(f[u][k][1][0] = f[u][i][1][0] * (f[v][j][1][0] + f[v][j][1][1]) + f[u][i][0][0] * f[v][j][1][1]\)

\(f[u][k][1][1] = f[u][i][0][1] * (f[v][j][0][1] + f[v][j][1][1]) + f[u][i][1][1] * (f[v][j][0][0] + f[v][j][0][1] + f[v][j][1][0] + f[v][j][0][1])\)

最后的答案即是 \(f[1][k][1][0] + f[1][k][1][1]\)

分析

树形背包如果转移的次数是 两个树的大小的乘积，那么就有整体时间复杂度 \(O(nk)\)。

空间也是 \(O(nk)\)。

代码

代码是好久之前的，状态后两维是反过来的。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;

const int mod = 1000000007;
const int MAXN = 100010;

int n, m;
int a[MAXN];

struct edge{
	int next, point;
}e[MAXN << 1];
int first[MAXN];
void add(int u, int v){
	static int cnt = 0;
	++cnt;
	e[cnt].point = v;
	e[cnt].next = first[u];
	first[u] = cnt;
}

int f[MAXN][103][2][2], siz[MAXN], tmp[210][2][2];

int Add(int a, int b){
	int s = a + b;
	while (s > mod) s -= mod;
	return s; 
}

void dp(int u, int fa){
	siz[u] = 1;
	f[u][0][0][0] =  f[u][1][1][0] = 1; 
	for(int i = first[u]; i; i = e[i].next){
		int v = e[i].point;
		if(v == fa) continue;
		dp(v, u);
		for(int j = 0; j <= min(siz[u], m); j++)
			for(int x = 0; x < 2; x++)
				for(int y = 0; y < 2; y++)
					tmp[j][x][y] = f[u][j][x][y],
					f[u][j][x][y] = 0;
		for(int j = 0; j <= min(siz[u], m); j++)
			for(int k = 0; k <= min(siz[v], m - j); k++)
				{
					f[u][j + k][0][0] = Add(f[u][j + k][0][0], (ll)tmp[j][0][0] * f[v][k][0][1] % mod);
					f[u][j + k][0][1] = Add(f[u][j + k][0][1], Add((ll)tmp[j][0][0] * f[v][k][1][1] % mod,(ll)tmp[j][0][1] * Add(f[v][k][0][1], f[v][k][1][1]) % mod));
					f[u][j + k][1][0] = Add(f[u][j + k][1][0], (ll)tmp[j][1][0] * Add(f[v][k][0][0], f[v][k][0][1]) % mod);
					f[u][j + k][1][1] = Add(f[u][j + k][1][1], Add((ll)tmp[j][1][1] * Add(Add(f[v][k][0][0], f[v][k][0][1]), Add(f[v][k][1][0], f[v][k][1][1])) % mod, (ll)tmp[j][1][0] * Add(f[v][k][1][0], f[v][k][1][1]) % mod));
				}
		siz[u] += siz[v];
	}
}

int main(){
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for(int i = 1; i < n; i++){
		int u, v;
		scanf("%d%d", &u, &v);
		add(u, v);
		add(v, u);
	}
	dp(1, 1);
	printf("%d\n", (f[1][m][0][1] + f[1][m][1][1]) % mod);
	return 0;
}