第7讲 一元积分学的概念与计算

计算公式：https://wenku.baidu.com/view/fb877a2c76eeaeaad0f3307c.html?from=search

知识点：

一。不定积分，定积分，变限积分与反常积分的概念。

概念：

　　1.不定积分的概念与存在定理（注意 与定积分存在条件的区别）

　　原函数存在定理：连续函数f(x)必有原函数F(x)。含有第一类间断点，无穷间断点的函数  f(x) 在包含该点的区间内必没有原函数F(X)   //就是连续，震荡间断点

二。定积分的概念，存在与性质  

　　1.概念常与极限一起考。

　　2.定积分的存在定理与存在条件。（注意与变限积分的不同p126）

　　3.定积分的性质：6条

三。变限积分及其求导公式

　　1.变限积分的概念

　　2.变限积分的性质。（例题7.1 7.4）重点：f(x)在【a,b】上可积  则变限积分原函数在【a,b】上是连续的　。///f(x)在【a,b】上连续，则原函数在【a,b】上可导。　

   　3.变限积分的求导公式。

四。反常积分的概念与敛散性。（上限或下限或全部为无穷）

　　1.反常积分的概念。（注意积分收敛 不一定能推出  原函数收敛   p125注）

　　2.反常积分的概念与收敛性判断（算极限 积分是否存在）

　　3.无界函数的反常积分概念与敛散性。(例 b 为奇点  则用极限ε趋于0       (b-ε)替代b)

 

 

　　其他 ：奇函数的原函数都是偶函数   偶函数的原函数只有一个是奇函数。（用处很大  还有点火公式）

 二。 计算  

计算：

一。不定积分的积分法（注意  +c）

　　1.凑微分法。（1.哪个因式复杂干谁（该因式求导   找出与该导数相同的部分与dx结合  成为  d该因式）注意看p127下面计算例题，2.分子分母同乘一些因式    p127）

　　2.换元法。（5种）【复杂函数直接替换  反对 用部分积分法      幂三指直接替换成  t】

　　3.部分积分法（u到v  :  反对幂（三指））

　　　　u求导   v积分  正负交替  图p129

　　4.有理函数积分(先拆分成简单的有理项，再积分)

二。定积分的计算（多考虑函数的 性质    奇偶性  周期性(变限积分 一般令t=-u)   区间再现公式    点火公式   ）

　　换元积分

　　部分积分

解题思路  和  难点  ：
错误  ：

1.a到c  积分  可拆为  a到b b到c   注意是c  不是c-b
 p131  积分中值定理  a介于 x 和 x+b    b 趋于0    a趋于 x.
2.证明不定积分在含有第一类间断点和无穷间断点的区间内没有原函数
解题思路 假设F（x）在区间内可导，且导数为f(x)，并假设 x = x0为f(x)的间断点，分别讨论三种情况  正矛盾  （知识点间断点的倒数   看导数 ）  p132     #还有待验证    间断点不存在导数   其他三种类型间断点可能存在导数。
3。不定积分与定积分存在定理的区别。关注7.3
4考点 ：证明连续  在极限c趋于0的情况下   f(a+c)=f(a)   （极限的条件下|发|f(a+c)-f(a)|小于等于0）
坑：设 a 和 a+c 属于【a,b】时要讨论c 的正负关系
5考点：积分 上下限都是0的时候 积分为0 原函数和 积分函数关系。
6.：注意答题写法  利用变限积分(重点回顾变限积分  变上限积分掌握不熟)
7.有难度   题目和条件的应用比较新颖  条件的利用 。 认真思考
8.证明 积分大于0 就是要找到一个小于等于他且大于0 的中间变量。
9.证明结论明显且显然 没有思路证明过程时 使用反证法 使用 非  结论 来证明矛盾。
不定积分的基本运算
抽象或半抽象函数的不定积分
13 注意微分计算  有坑  考试真题
14有sin cox  同时存在 转化为1 和 tan