「二项式定理」学习笔记

下文中，记$C^k_n$为$\binom{n}{k}$

 

二项式定理$$(x+y)^n = \sum\limits_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{n-k}y^{k}$$

证明非常简单，由于合并同类项以后最多只有$n+1$项，按$x$的指数从大到小排列后：对于任意一项$x^{n-k}y^{k}$，相当于从$n$个$(x+y)$中，选出$n-k$项乘$x$。也就是组合数$\binom{n}{n-k}=\binom{n}{k}$

 

[ 推论 1 ] $\sum\limits_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=2^n$

这也就是二项式定理的特殊情况，也就是对于所有的$x^{n-k}y^k$都为$1$，因此$x=y=1$。

$$2^n = (1+1)^n =\sum\limits_{k=0}^{n}\binom{n}{k}1^{n-k}1^k$$

 

[ 推论 2 ] $\sum\limits_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}=0$

思路完全一样，我们发现$\binom{n}{k}$始终存在，也就不需要去改变。也就意味着$x^{n-k}y^k=(-1)^k$，显然可以满足$x=1,y=-1$

$$0=(1+(-1))^n=\sum\limits_{k=0}^{n}\binom{n}{k}1^{n-k}(-1)^k$$

 

[ 推论 3 ] $\sum\limits_{k=0}^{n}\binom{n}{k}2^k=3^n$

还是不看$1$就好了。$x+y=3, x^{n-k}y^k=2^k$，则$x=1,y=2$

$$3^n=(1+2)^n=\sum\limits_{k=0}^{n}\binom{n}{k}1^{n-k}2^k$$