拓扑学03 商拓扑

粘合空间(Identification Space)

莫比乌斯环

还记得如何制作一个莫比乌斯环吗？只需把一张矩形纸片的对边反方向粘起来。也即，对于矩形\(ABCD\)，我们让\(AB\)和\(CD\)紧贴，其中\(A\)和\(C\)重叠，\(B\)和\(D\)重叠，这样就得到了一个莫比乌斯环。如果我们简单地让\(A\)和\(D\)重叠，\(B\)和\(C\)重叠，那么我们会得到圆柱，而不是莫比乌斯环。

我们可以用集合的等价类来描述这一“粘合”的过程。设矩形纸片是\(\R^2\)标准拓扑下的一个闭子集\(\{(a,b)\mid a\in [-\ell,\ell], b\in [-1,1]\}\)。那么我们可以这样划分等价类：对于\((a,b)\)，如果\(|a|\neq \ell\)，那么\((a,b)\)所在的等价类只包含它自己；如果\(|a|=\ell\)，那么其所在的等价类是\(\{(a,b),(-a,-b)\}\)。记这个等价类为\(R\)，全体等价类构成的集合记为\(X/R\)，称为由\(R\)给出的\(X\)的商集(quotient set)。

我们之所以认为“矩形纸片”、“由这张矩形纸片所粘成的圆柱”、“由这张矩形纸片所粘成的莫比乌斯环”是不同的几何图形，是因为当我们想象“圆柱”或“莫比乌斯环”时，我们已经自然地为它们赋予了拓扑，这一拓扑就是它们在三维空间中作为\(\R^3\)的子空间拓扑。所以，我们还不能认为上面定义的商集\(X/R\)是莫比乌斯环，因为我们还没有为这个集合赋予拓扑。你当然可以给它赋予\(\{\varnothing,X/R\}\)这样的平凡拓扑，但这一拓扑完全没有反映出莫比乌斯环的几何性质。重要的问题是，什么是莫比乌斯环的几何性质？怎样从\(X/R\)的构造出发给出一个能反映这一几何性质的拓扑？

事实上，我们总可以在\(\R^3\)中用某个具体的曲面方程把矩形粘合之后莫比乌斯环写出来。但是，这样的写法有无数种：一个莫比乌斯环可以是“均匀纽绞”而成的，也可以是在某一处“急剧地纽绞”而成的；可以是对称摆放的，也可以是不对称的。我们关心的是一般的莫比乌斯环的几何性质，而不是某一特殊的莫比乌斯环的几何性质。这种一般性质其实就是“莫比乌斯环的拓扑性质”。在讨论同胚时，我们已经发现：拓扑性质对应着某种连续映射。莫比乌斯环的一般几何性质为：矩形侧边的点镜像粘合；矩形上距离相近的两个点，在莫比乌斯环上距离依旧相近。以上两点的第一点反映出粘合纸带的方式；第二点反映出，莫比乌斯环的确是由一张纸带粘合而成的。于是我们得出结论：\(X/R\)上的拓扑应该满足这样的性质，它会使从\(x\)到等价类\([x]_R\)的映射是连续的。这一映射就是由等价类给出的自然映射。下面我们严格地叙述。

商拓扑

给定一个集合\(X\)以及其上的一个拓扑\(\tau_X\)。给出\(X\)上的一个等价关系\(R\)。函数\(\pi:X\to X/R,\pi(x)=[x]_R\)称为自然映射(natural mapping)，其中\([x]_R\)是以\(x\)为代表元的等价类\(\{y\in X\mid xRa\}\)。我们希望定义一个\(X/R\)上的拓扑\(\tau_Q\)，使得自然映射\(\pi\)是连续的。

下面证明，\(\tau_Q=\{U\mid U\subseteq X/R,\pi^{-1}(U)\in \tau_X\}\)是拓扑。根据连续的定义，显然这个拓扑使得\(\pi\)是连续映射。所以只需验证三条性质证明\(\tau_Q\)是拓扑。

• \(\pi(\varnothing)=\varnothing\)；\(\pi(X)=X/R\)；
• 设\(\forall \alpha\in J,U_\alpha\in \tau_Q\)，也即\(\pi^{-1}(U_\alpha)\in \tau_X\)，根据\(\tau_X\)是拓扑，所以\(\bigcup\limits_{\alpha\in J}\pi^{-1}(U_\alpha)\in \tau_X\)。而\(\bigcup\limits_{\alpha\in J}\pi^{-1}(U_\alpha)=\pi^{-1}\left(\bigcup\limits_{\alpha\in J}U_\alpha\right)\)，所以\(\bigcup\limits_{\alpha\in J}U_\alpha\in \tau_Q\)；
• 设\(U_1,U_2\in \tau_Q\)，那么\(\pi^{-1}(U_1),\pi^{-1}(U_2)\in \tau_X\)，所以\(\pi^{-1}(U_1)\cap \pi^{-1}(U_2)\in \tau_X\)。而\(\pi^{-1}(U_1)\cap \pi^{-1}(U_2)=\pi^{-1}(U_1\cap U_2)\)。所以\(U_1\cap U_2\in \tau_Q\)；

\(\tau_Q\)就称为\(X/R\)上的商拓扑(quotient topology)。可以看出，\(\tau_Q\)是可能使得\(\pi\)连续的最粗的拓扑了。\(X/R\)上任何能使\(\pi\)连续的拓扑都至少包含\(\tau_Q\)中的元素。

粘合映射

研究商拓扑真的对研究实际的子空间拓扑有帮助吗？比如，对于\(\R^2\)上的矩形\(X\)，通过物理上的粘合我们的确能得到\(\R^3\)上的一个莫比乌斯环，它是\(\R^3\)的子集\(Y\)。那么，\(Y\)上的子空间拓扑\(\tau_Y\)和\(X/R\)上的商拓扑\(\tau_Q\)是否是同胚的？对于莫比乌斯环来说，答案是肯定的。

首先，我们定义粘合映射(identification mapping)的概念。对于拓扑空间\(X,Y\)，如果\(f:X\to Y\)满足以下两个条件，则称\(f\)为粘合映射：

• \(f\)是连续映射并且是满射；
• \(\forall U\subseteq Y\)，\(f^{-1}(U)\in \tau_X\implies U\in \tau_Y\)；

容易证明，粘合映射的复合依然是粘合映射。

对于给定的\(\R^2\)上的矩形\(X\)，我们在物理空间上可以由\(X\)构造得到一个\(\R^3\)上的任意一个莫比乌斯环。取物理意义下点的一一对应的映射\(f\)，下面我们来证明这个\(f\)总是粘合映射。显然，\(f\)是连续映射并且是满射。如果\(f\)是闭映射，也即如果对于任意\(\tau_X\)中的闭集\(U\)，都有\(f(U)\)是\(\tau_Y\)中的闭集，那么\(f\)是粘合映射得证（\(\forall U\subseteq Y\)，如果\(f^{-1}(U)\in \tau_X\)，那么\(X\setminus f^{-1}(U)\)是闭集，根据\(f\)是闭映射，\(f(X\setminus f^{-1}(U))\)是闭集，也即\(f(X)\setminus f(f^{-1}(U))=Y\setminus U\)是闭集，也即\(U\in \tau_Y\)）。那么只需证\(f\)是闭映射。因为\(X\)是矩形，所以是\(\R^2\)中的紧集。那么对于任意\(X\)中的闭集\(C\)，\(C\)是紧集。因为\(f\)是连续映射，所以\(f(C)\)是紧集。而\(Y\)是Hausdorff空间，所以\(f(C)\)是闭集。证毕。

现在我们来证明，如果\(f:X\to Y\)是粘合映射，那么\(Y\)与\(X/R_f\)同胚。其中，\(R_f\)是由\(f\)诱导的\(X\)上的等价类（也即，\(\forall x,y\in X,xRy\iff f(x)=f(y)\)），这一等价类的划分和\(R\)本质上是相同的。根据粘合映射，我们已知\(Y\)到\(X/R_f\)存在双射\(g\)。所以要证同胚，只需证\(g,g^{-1}\)连续。下证\(g\)连续：对于任意\(X/R_f\)中的开集\(U\)，要证\(g^{-1}(U)\)是\(Y\)中的开集，即证\(f^{-1}(g^{-1}(U))\)是\(X\)中开集。根据自然映射的定义，这就是证\(\pi^{-1}(U)\)是开集，根据\(\pi\)的连续性，得证；下证\(g^{-1}\)连续：因为\(\pi\circ g^{-1}=f\)，而\(\pi\)和\(f\)都连续，所以\(g^{-1}\)连续。

综上我们看到，\(\tau_Y\)和\(\tau_Q\)确实是同胚的。回顾“嵌入(embedding)”的定义，我们发现我们上面发现的同胚\(g\)恰好给出了\(X/R\)嵌入\(\R^3\)的方式。

克莱因瓶

存在这样的粘合矩形的方式，可以证明它无法嵌入到\(\R^3\)中。对于矩形\(ABCD\)，首先粘合\(BC\)和\(AD\)得到一个圆柱，接着镜像粘合\(AB\)和\(CD\)，这样得到的图形称为一个克莱因瓶(Klein Bottle)。我们会发现圆柱必须以某种方式穿过自身才可能实现这样的粘合。但是当我们构造商空间时，并不会把这一物理“穿越”描述为等价类中的点。人们最终证明，\(\R^3\)中是不可能嵌入克莱因瓶的。

但是可以证明，克莱因瓶可以嵌入\(\R^4\)中。我们可以这样理解这一点：对于在二维平面里相交的两条绳子，如果放在三维空间中，我们只需要在交点处把一条绳子微微抬起即可。所以在三维空间中相交的曲面，我们只要在四维空间中把其中一个“微微抬起”，就可以避免相交从而实现“嵌入”了。

虽然克莱因瓶无法嵌入\(\R^3\)，但是它总是可以用商拓扑描述。这也反映出商拓扑这一定义的普适性。

模空间(Moduli Space)

商拓扑不仅可以用于粘合空间，也可以用于表示一类具有某几何性质的集合族，这样的集合称为“模空间”。例如，\(\R^2\)上所有过原点的直线几何是一个模空间，称为实射影空间(Real Projective Space)，记为\(\mathbb{RP}^1\)。\(\forall (x_1,y_1),(x_2,y_2)\in\R^2\setminus \{(0,0)\}\)，\((x_1,y_1)\)和\((x_2,y_2)\)存在于\(\mathbb{RP}^1\)的同一个元素（等价类）中当且仅当\(\exists \lambda\in \R,x_1=\lambda y_1 \land x_2=\lambda y_2\)。可见，\(\mathbb{RP}^1\)也可以通过在\(\R^2\)定义等价类来得到。所以我们可以为\(\mathbb{RP}^1\)赋予商拓扑，这样的商拓扑反映出从\(\R^2\)到\(\mathbb{RP}^1\)的连续性：两个在平面上相近的点，对应的射影之后的直线也是相近的（夹角很小）。