拓扑学01 拓扑空间

在研究数学时常常会出现这样的现象：人们最先研究一些特殊对象的性质，例如在最先学习算数时我们研究了自然数上的结合律、分配律等，而当向量、矩阵等概念出现之后，人们发现向量和矩阵在运算时也有结构完全相同的结合律、分配律。于是最方便的方法就是把满足这样性质的数学对象抽象出来，命名为一类新的代数结构，例如群、环、域等等。这样以后，人们只需要研究群的性质，再证明某一对象在一定条件下表现为群，那么这个对象就会满足群的所有性质。这是数学中尤其美妙的地方。

人们在研究实数、欧氏空间以及这些空间上的连续函数时，抽象出了“拓扑空间”的概念。研究拓扑空间及其性质的学科就称为拓扑学。

拓扑空间(Topological Spaces)

对于集合\(X\)，我们称\(\mathcal{P}(X)\)的子集\(\tau\)是关于\(X\)的一个拓扑(topology)，如果它满足以下三个条件：

• \(\varnothing \in \tau\)，\(X\in\tau\)；
• 任意\(\{A_\alpha\}_{\alpha \in J}\)（可以不可数），\((\forall \alpha\in J,A_\alpha\in \tau) \Rightarrow \bigcup\limits_{\alpha\in J} A_\alpha \in \tau\)；
• \(\forall A,B\in \tau,A \cap B \in \tau\)；

对于\(X\)及其上的一个拓扑\(\tau\)，我们称二元组\((X,\tau)\)是一个拓扑空间(topological space)。

以上的第三条性质等价于\(\forall n\in\N,\forall A_1,\cdots,A_n,(\forall i,A_i \in \tau) \Rightarrow \bigcap\limits_{i=1}^{n}A_i \in \tau\)。证明：如果\(\forall A,B\in \tau,A \cap B \in \tau\)，那么依据数学归纳法，\(A_1\cap A_2 \in \tau\)，所以\((A_1\cap A_2)\cap A_3\in \tau\)，……，\(\bigcap\limits_{i=1}^{n}A_i\in \tau\)；如果\(\bigcap\limits_{i=1}^{n}A_i\in \tau\)，那么取\(n=2\)即得\(\forall A,B\in \tau,A \cap B \in \tau\)。

对于任意一个\(X\)而言，我们注意到\(\mathcal{P}(X)\)总是一个拓扑，这称为离散拓扑(discrete topology)；\(\{\varnothing,X\}\)也总是一个拓扑，这称为平凡拓扑(trivial topology)。

对于\(X\)上的两个拓扑\(\tau_1,\tau_2\)，如果\(\tau_1\subseteq \tau_2\)，就称\(\tau_1\)粗于(coarser than)\(\tau_2\)；如果\(\tau_2\subseteq \tau_1\)，就称\(\tau_1\)细于(finer than)\(\tau_2\)。

拓扑的基(Basis for a Topology)

对于\(X\)，当给定一个\(S\subseteq \mathcal{P}(X)\)时，我们希望可以定义“由\(S\)生成的拓扑”，也即包含\(S\)的最小拓扑。然而，这件事并不是对任意\(S\)都是容易的。人们发现，当\(S\)满足某一些特定性质时，这一定义变得容易，并且满足这些特定性质的\(S\)本身被证明是一类重要的数学概念，称为“拓扑的基(basis)”。

对于\(S \subseteq \mathcal{P}(X)\)，如果\(S\)满足以下两个性质，则称\(S\)是\(X\)上的一组基：

• \(\forall x \in X, \exists T \in S, x \in T\)
• \(\forall x \in X,\forall T_1,T_2\in S,(x \in T_1\cap T_2)\implies (\exists T_3\in S,(x\in T_3)\land (T_3\subseteq T_1\cap T_2))\)

第一条性质要求基能覆盖\(X\)，也即\(X\subseteq \bigcup S\)；第二条性质要求基中的元素对于取交有某种封闭性：\(S\)中任意两个元素的交集要么也在\(S\)中，要么包含\(S\)中的某个元素。

\(\newcommand{\B}{\mathcal{B}}\newcommand{\P}{\mathcal{P}}\)我们通常用\(\mathcal{B}\)来表示\(X\)上的一组基。

可以验证，\(\R^2\)上所有圆形的内部区域构成\(\R^2\)上的一组基；\(\R^2\)上所有矩形的内部区域构成\(\R^2\)上的一组基。

对于\(X\)上的一组基\(\B\)，我们这样定义由\(\B\)生成的拓扑\(\tau(\B)\)：对任意\(U \subseteq X\)，\(U \in \tau(\B)\)当且仅当\(\forall x\in U,\exists B\in \B,(x\in B)\land (B \subseteq U)\)。也就是说，\(\tau(\B)\)中包含所有这样的集合，这些集合内部的基元素能覆盖该集合本身。

显然\(\B\subseteq \tau(\B)\)，因为\(\forall B\in \B\)，我们有\(\forall x \in B,(x\in B)\land (B \subseteq B)\)。

我们需要验证，这样定义的\(\tau(\B)\)确实是\(X\)上的一个拓扑。只需证明拓扑的三个条件：

• 当\(U=\varnothing\)时，\(x\in U\)始终不成立，因此条件始终成立，所以\(\varnothing \in \tau(\B)\)；当\(U=X\)时，根据基的定义\(\forall x \in X,\exists B\in \B,x \in B\)，并且\(B\in X\)，所以\(X \in \tau(\B)\)；
• 假设对于\(\{U_\alpha\}_{\alpha \in J}\)有\(\forall \alpha\in J,U_\alpha \in \tau(\B)\)，只需证明\(\bigcup \limits_{\alpha\in J}U_\alpha \in \tau(\B)\)。\(\forall x \in \bigcup\limits_{\alpha\in J}U_\alpha,\exists \beta\in J,x \in U_\beta\)。根据\(x\in U_\beta\)，可知\(\exists B \in \B,(x \in B)\land (B\subseteq U_\beta)\)。由\(B\subseteq U_\beta\)自然有\(B \subseteq \bigcup\limits_{\alpha \in J}U_\alpha\)。所以\(\bigcup \limits_{\alpha\in J}U_\alpha \in \tau(\B)\)；
• 假设\(U_1\in \tau(\B),U_2\in \tau(\B)\)，只需证明\(U_1\cap U_2\in \tau(\B)\)。\(\forall x \in U_1\cap U_2\)，有\(x\in U_1\)，所以\(\exists B_1\in \B,(x\in B_1)\land (B_1\subseteq U_1)\)；有\(x \in U_2\)，所以\(\exists B_2\in \B,(x\in B_2)\land (B_2 \subseteq U_2)\)。所以\(x \in B_1\cap B_2\)，于是根据基的定义\(\exists B_3 \in \B\)，\((x \in B_3)\land (B_3\subseteq B_1\cap B_2)\)。于是\(B_3\subseteq U_1\cap U_2\)。所以\(U_1\cap U_2\in \tau(\B)\)。

我们下面证明基有这样一个良好的性质，这也是为什么我们把它称为“基”：对于任意的\(U\in \tau(\B)\)，\(U\)一定等于若干个\(\B\)中元素的并。也即存在一个指标集\(K\)使得\(\{B_{\alpha}\}_{\alpha \in K}\subseteq \B\)，满足\(U=\bigcup\limits_{\alpha \in K}B_{\alpha}\)。反之，任取\(\B\)的一个子集\(\{B_{\alpha}\}_{\alpha \in K}\subseteq \B\)，有\(\{B_{\alpha}\}_{\alpha \in K}\subseteq \tau(\B)\)，所以根据拓扑的任意并的性质，\(\bigcup\limits_{\alpha \in K}B_{\alpha} \in \tau(\B)\)。这意味着，\(\tau(B)\)恰好就是由所有的\(\B\)的子集的并集构成的：\(\tau(\B)=\{\bigcup S \mid S \subseteq \B\}\)。

基的这种表示特性可以类比线性代数中基向量张成线性空间。但是和线性代数中不同的是，我们并不能证明这种用基表示拓扑空间中的元素的表示是唯一的。在拓扑空间的基中，这种表示通常不是唯一的。

现在我们可以证明\(\tau(\B)\)是包含\(\B\)的最小拓扑：假设\(\mu\)也是一个拓扑并且\(\B\subseteq \mu\)，我们下面证明\(\tau(\B)\subseteq \mu\)。即证\(\{\bigcup S\mid S \subseteq \B\}\subseteq \mu\)。即证\(\forall S \subseteq \B\)，\(\bigcup S \in \mu\)。因为\(S \subseteq B\)，所以\(S\subseteq \mu\)。因为\(\mu\)是拓扑，所以任意并依然在拓扑中。所以\(\bigcup S\in \mu\)。证毕。

给定\(X\)上的一个拓扑\(\tau_0\)，我们可以用以下两个条件来判定集合\(\B_0\)是否恰好是\(\tau_0\)的一组基：（换言之，满足以下两个条件的集合\(\B_0\subseteq \P(X)\)是一组基，且\(\tau(\B_0)=\tau_0\)）

• \(\B_0 \subseteq \tau_0\)
• \(\forall U \in \tau_0,\forall x \in U,\exists B \in \B_0,(x \in B)\land (B \subseteq U)\)。

证明：首先验证满足以上条件\(\B_0\)是基：①\(\forall x \in X\)，我们会选取一个\(x\in B\)加入\(\B_0\)，成立；②如果\(x \in B_1\cap B_2\)，由于\(B_1,B_2\in \tau_0\)，所以\(B_1\cap B_2\in \tau_0\)，所以当\(U=B_1\cap B_2\)时，我们会加入\(B_3\)满足\((x \in B_3)\land (B_3\subseteq B_1\cap B_2)\) ；综上，\(\B_0\)是一组基。下面证明\(\tau(B_0)=\tau_0\)。首先，\(\forall U \in \tau_0,\forall x \in U,\exists B \in \B_0,(x \in B)\land (B \subseteq U)\)意味着\(\forall U \in \tau_0,U \in \tau(\B_0)\)，因此\(\tau_0 \subseteq\tau(\B_0)\)；其次，我们已经得到\(\tau(\B_0)=\{\bigcup S \mid S \subseteq \B_0\}\)。由于\(\B_0\subseteq \tau_0\)，\(\tau(\B_0)\subseteq \{\bigcup S \mid S\subseteq \tau_0\}\)，而\(\tau_0\)是拓扑，满足任意并封闭性，因此\(\{\bigcup S \mid S \subseteq \tau_0\}=\tau_0\)，所以\(\tau(\B_0)\subseteq \tau_0\)。证毕。

直观上，基可以看作是构成拓扑的基本构件，所以基的粗细决定了其生成的拓扑的粗细。我们可以证明：对于\(X\)上的两个基\(\B_1,\B_2\)，\(\tau(\B_1)\subseteq \tau(\B_2)\)当且仅当\(\forall B\in \B_1,\forall x \in X,(x \in B)\implies (\exists B'\in \B_2,(x \in B')\land (B'\subseteq B))\)。左推右：假设\(\tau(\B_1)\subseteq \tau(\B_2)\)，那么对于任意\(B\in \B_1\)，因为\(B\in \tau(\B_1)\)，所以\(B \in \tau(\B_2)\)，所以根据基生成拓扑的定义，\(\forall x\in B,\exists B'\in \B_2,(x\in B')\land (B' \subseteq B)\)；右推左：对于任意的\(U\in \tau(\B_1)\)，我们证明\(U \in \tau(\B_2)\)：\(\forall x \in U,\exists B\in \B_1,(x \in B)\land (B \subseteq U)\)，根据假设\(\exists B'\in \B_2,(x \in B')\land (B'\subseteq B)\)。所以\(\forall x \in U,\exists B'\in \B_2,(x \in B')\land (B'\subseteq U)\)，所以\(U \in \tau(B_2)\)。

对于\(\R^2\)上的一个点，任意包含这个点的开圆一定有一个包含它的开矩形，所以全体开矩形生成的拓扑细于全体开圆生成的拓扑；任意包含这个点的开矩形一定有一个包含它的开圆，所以全体开圆生成的拓扑细于全体开矩形生成的拓扑。所以，全体开矩形生成的拓扑恰好等于全提开圆生成的拓扑。

子基(Subbasis)

我们已经证明了，给定集合\(X\)，满足特定条件的\(S \subseteq \mathcal{P}(X)\)（“基”的两条性质：覆盖与交的包含封闭性）可以直接通过“任意子集的并”给出包含\(S\)的最小拓扑。那么，对于一般的集合\(S\)，如何给出包含\(S\)的最小拓扑呢？

我们假设\(S\)只满足基的第一条性质，也即\(\forall x \in X,\exists B \in S,x \in B\)。我们证明，\(\mathfrak{S}=\{\bigcap\limits_{i \in [n]}S_i\mid n \in \N;\forall i \in [n],S_i \in S\}\)是一组基，也即\(S\)做“有限交的扩充”之后会成为一组基：因为\(S \subseteq \mathfrak{S}\)，而\(S\)覆盖\(X\)，所以\(\mathfrak{S}\)覆盖\(X\)，基的第一条性质成立；\(\forall x \in X\)，假设\(x \in T_1 \cap T_2\)，其中\(T_1,T_2 \in \mathfrak{S}\)，不妨设\(T_1=S_1\cap \cdots \cap S_n,T_2=S'_1 \cap \cdots \cap S_m'\)，其中\(S_i,S'_i \in S\)，那么\(T_1\cap T_2=(S_1\cap \cdots \cap S_n)\cap (S_1'\cap \cdots \cap S_m')\)，所以\(T_1\cap T_2 \in \mathfrak{S}\)，所以基的第二条性质也成立。证毕。所以，\(\tau(\mathfrak{S})\)是一个包含\(S\)的拓扑。

下面我们证明\(\tau(\frak{S})\)是包含\(S\)的最小拓扑，也即任何一个拓扑\(\mu\)如果满足\(S\subseteq \mu\)就一定有\(\tau(\frak{S})\subseteq \mu\)。\(\forall U \in \tau(\frak{S})\)，我们有\(\exists S_0 \subseteq \mathfrak{S},U=\bigcup S_0\)。要证明\(U \in \mu\)，即证\(\bigcup S_0 \in \mu\)。因为\(\mu\)是拓扑，只需证\(\forall S' \in S_0,S'\in \mu\)。不妨设\(S'=S_1\cap\cdots \cap S_n,n \in \N\)，只需证\(\forall i \in[n],S_i \in \mu\)。因为\(S_i \in S\)，而\(S\subseteq \mu\)，所以\(S_i \in \mu\)，证毕。

所以，对于任何一组能够覆盖\(X\)的集合\(S\)，我们证明了：只需取\(S\)的所有有限交构成的集合就能构造一组基\(\mathfrak{S}\)，这组基生成的拓扑是包含\(S\)的最小拓扑。因为\(S\)总是\(\mathfrak{S}\)的子集，所以我们通常把\(S\)称为\(X\)上的一组子基(subbasis)。子基是只满足基的第一条性质的集合族，\(X\)的一组子基就是\(\P(X)\)的一个能覆盖整个\(X\)的子集。至此，我们已经清楚给定任何一组能覆盖整个集合的子集族，如何构造包含这个子集族的最小拓扑了。

序拓扑(Order Topology)

到现在为止，我们讨论的拓扑是基于任何一般的集合\(X\)的。下面我们要讨论，如果\(X\)上已经定义了一个全序关系\(<: X\times X\to \{true,false\}\)，那么将能够引出基于该序关系的一些自然的拓扑。

实数就是一个全序集，我们可以仿照实数中对开区间、闭区间、半开半闭的区间定义任意全序集上的开区间、闭区间、半开半闭区间。例如，对于\(a,b \in X\)，定义\((a,b):=\{x \in X\mid (a<x)\land (x < b)\}\)。同样地，我们仿照实数中的写法，定义\((a,+\infty):=\{x \in X\mid x > a\}\)，等等。

（以下默认\(X\)中的元素不止一个）

如果全序集\(X\)没有最大元素或最小元素，那么我们可以证明\(\B=\{(a,b)\mid a,b \in X\}\)是\(X\)的一组基（注意\((a,b)\)是指开区间而不是有序对）。证明：首先验证基的第一个条件：\(\forall x \in X\)，因为\(X\)没有最小元素和最大元素，所以存在\(y,z\in X\)满足\(y<x<z\)，于是\(x \in (y,z)\)且\((y,z\in \B)\)，成立；再验证第二个条件：若\(x \in (a,b)\cap (c,d)\)，那么\(c<b\)，所以\(x \in (c,b)\subseteq ((a,b)\cap (c,d))\)，成立。证毕。这组基生成的拓扑\(\tau(\B)\)称为\(X\)上的序拓扑。

如果\(X\)有最大元素或最小元素，那么\(\{(a,b)\mid a,b \in X\}\)就不足以覆盖最大元素或最小元素，因此无法构成基。但是这只要做一点小的修正：如果\(X\)有最小元素\(x_{\min}\)，那么我们就在基中加入\(\{[x_{\min},a)\mid a\in X\}\)；如果\(X\)有最大元素\(x_{\max}\)，那么我们就在基中加入\(\{(a,x_{\max}]\mid a\in X\}\)。同理，我们可以证明\(\B=\{(a,b)\mid a,b \in X\}\cup\{[x_{\min},a)\mid a\in X\}\cup\{(a,x_{\max}]\mid a\in X\}\)是\(X\)的一组基，这组基生成的拓扑就是序拓扑。

注意到，无论\(X\)是否有最大最小元素，\(S=\{(a,+\infty)\mid a \in X\}\cup \{(-\infty,a)\mid a \in X\}\)都覆盖了整个\(X\)，因此构成了\(X\)上的一个子基。所以，对\(S\)取有限交就会得到\(X\)的一组基\(\frak S\)，这组基会生成\(X\)上的一个拓扑。显然，\(\frak S\)中包含所有的开区间，因此\(\tau(\frak S)\)一定包含\(X\)上的序拓扑（如果\(X\)有最大或最小元素，那么所有半开半闭区间本身都已经在\(S\)中了），也即\(\tau(\frak S)\)是比序拓扑更细的拓扑。

所以，实数集合\(\R\)上的序拓扑就是由全体开区间生成的拓扑。实数集上的序拓扑称为\(\R\)上的标准拓扑(standard topology)，标准拓扑中的元素称为开集(open set)。事实上，习惯上总是把一个拓扑中的元素称为“开集”。拓扑中开集的定义——对任意并和有限交封闭的性质——正是从实数集、欧氏空间中的“开集”定义中抽象出来的。

积拓扑(Product Topology)

对于两个拓扑空间\((X,\tau_X),(Y,\tau_Y)\)，我们可以证明\((X\times Y,\tau(\B))\)是一个拓扑空间，其中\(\B=\{U\times V\mid U \in \tau_X,V\in \tau_Y\}\)。这个拓扑称为\(X\times Y\)上的积拓扑。只需验证\(\B\)是基：\(\forall (x,y) \in X \times Y\)，\(\exists U \in \tau_X,x\in U;\exists V \in \tau_Y,y\in V\)，所以\((x,y) \in U\times V \in B\)，成立；若\((x,y)\in (U_1\times V_1)\cap (U_2\times V_2)\)，也即若\((x,y)\in (U_1\cap U_2)\times (V_1\cap V_2)\)，而由于拓扑对有限交封闭，\(U_1\cap U_2\in \tau_X,V_1\cap V_2\in \tau_Y\)，所以第二个条件也成立。

对于两个拓扑空间\((X,\tau_X),(Y,\tau_Y)\)，可以证明：如果\(\tau_X=\tau(\B_X),\tau_Y=\tau(\B_Y)\)，那么\(\{B_1\times B_2\mid B_1 \in \B_X,B_2\in \B_Y\}\)是\(X\times Y\)上的一组基。证明：性质1显然；性质2，若\((x,y)\in (B_1\times B_2)\cap (B_1'\times B_2')\)，则\((x,y)\in (B_1\cap B_1')\times (B_2\cap B_2')\)。根据\(\B_X,\B_Y\)是基，\(\exists T_X\in \B_X,x \in T_X \subseteq B_1\cap B_1'\)，\(\exists T_Y\in \B_Y,y\in T_Y\subseteq B_2\cap B_2'\)，于是\(T_X\times T_Y\subseteq (B_1\cap B_1')\times (B_2\cap B_2')\)，证毕。这说明，对两组基做积，会自然得到积空间上的基。

所以，把\(\R\)上的标准拓扑的基——全体开区间的集合——与自己做笛卡尔积，就能得到\(\R^2\)的一组基。这组基是全体开矩形的集合，称为\(\R^2\)上的标准拓扑。

子空间拓扑(Subspace Topology)

假设已知\(X\)上有一个拓扑\(\tau_X\)，那么对于任意\(X\)的子集\(Y\)，我们可以证明\(\tau_Y=\{Y\cap U\mid U \in \tau_X\}\)是\(Y\)上的一个拓扑：

• \(\varnothing \in \tau_X\)，所以\(\varnothing \cap Y = \varnothing \in \tau_Y\)；\(X\in\tau_X\)，所以\(X\cap Y = Y \subseteq \tau_Y\)；
• 对于\(\tau_Y\)的任意一个子集\(S\)，它总可以看作是由\(\tau_X\)的一个子集\(\{U_\alpha\}_{\alpha \in J}\)与\(Y\)做交得到的，也即\(S=\{U_\alpha \cap Y\mid \alpha\in J\}\)，而\(\bigcup S=\bigcup\limits_{\alpha \in J}(U_\alpha\cap Y)=\left(\bigcup\limits_{\alpha\in J}U_\alpha\right)\cap Y\)，因为\(\tau_X\)是拓扑所以\(\bigcup\limits_{\alpha\in J}U_\alpha \in \tau_X\)，所以\(\bigcup S \in \tau_Y\)。
• \(\forall V_1,V_2 \in \tau_Y\)，存在\(U_1,U_2\in \tau_X\)使得\(V_1=U_1\cap Y,V_2=U_2\cap Y\)。\(V_1\cap V_2=(U_1\cap Y)\cap (U_2\cap Y)=(U_1\cap U_2)\cap Y\)。因为\(U_1\cap U_2 \in \tau_X\)，所以\(V_1\cap V_2 \in \tau_Y\)；

可见，假设我们已经得到了大集合的一个拓扑，要得到其子集的拓扑只需要把大的拓扑中的每个元素与子集做交。当给定拓扑空间\((X,\tau_X)\)以及子集\(Y\subseteq X\)时，如果我们在\(Y\)上把用上述取交集的方式定义拓扑\(\tau_Y\)，这时就把\(\tau_Y\)称为\(\tau_X\)在\(Y\)子空间上的拓扑，把\(Y\)称为\(X\)的子空间(subspace)。

类似地，我们证明如果\(\B\)是\(X\)的一组基，那么对于任意\(X\)的子集\(Y\)，\(\B_Y=\{B\cap Y\mid B \in \B\}\)是\(Y\)的一组基：

• \(\forall y \in Y,y\in X\)，因此\(\exists B \in \B\)使得\(y \in B\)。因为\(y \in Y\)，所以\(y \in B\cap Y\in \B_Y\)；
• 设\(y \in B_1\cap B_2\)，其中\(B_1,B_2\in \B_Y\)。那么存在\(B_1^X,B_2^X\in \B\)使得\(y \in (B_1^X \cap Y)\cap (B_2^X\cap Y)\)\(=(B_1^X\cap B_2^X)\cap Y\)，而\(B_1^X \cap B_2^X\in \B\)，因此\((B_1^X\cap B_2^X)\cap Y\in \B_Y\)；

事实上，利用拓扑的基的判定条件可以直接验证\(\tau(\B_Y)\)恰好就是子空间拓扑\(\tau_Y\)：首先，\(\forall B \in \B_Y\)，存在\(B' \in \B\)使得\(B=B'\cap Y\)，而\(B' \in \B\subseteq \tau_X\)，所以\(\B_Y\subseteq \tau_X\)；\(\forall U \in \tau_Y\)，存在\(U^X \in \tau_X\)使得\(U=U^X\cap Y\)。\(\forall x \in U\)，我们可以取\(B \in \B\)满足\(x \in B \subseteq U^X\)，所以\(x \in B \cap Y \subseteq U\)，其中\(B\cap Y \in \B_Y\)。可见，两个判定条件都满足。

特别地，如果\(Y\)本身是\(\tau_X\)的元素，那么可以证明\(\tau_Y\subseteq \tau_X\)。证明：\(\forall U \in \tau_Y\)，存在\(U^X \in \tau_X\)满足\(U=U^X\cap Y\)，其中\(Y \in \tau_X\)。而因为\(\tau_X\)是拓扑所以对交封闭，因此\(U^X \cap Y \in \tau_X\)。证毕。

以下关于子空间的积拓扑的结论与期望相符：若\(A\subseteq X,B\subseteq Y\)，设\(X\)的拓扑为\(\tau_X\)，\(Y\)的拓扑为\(\tau_Y\)，\(\tau_X\)在\(A\)子空间上的拓扑为\(\tau_A\)，\(\tau_Y\)在\(B\)子空间上的拓扑为\(\tau_B\)，则“\(A\times B\)上的积拓扑”恰好等于“\(X\times Y\)上的积拓扑在\(A\times B\)子空间上的拓扑”。证明：\(A\times B\)上的积拓扑的基定义为\(\B_{A\times B}=\{U\times V\mid U\in \tau_A,V\in \tau_B\}\)，\(X\times Y\)上的积拓扑的基定义为\(\B_{X\times Y}=\{W\times R\mid W\in \tau_X,R\in \tau_Y\}\)。因为\(A\times B\subseteq X\times Y\)，所以\(\{(W\times R)\cap (A\times B) \mid W \in \tau_X,R\in \tau_Y\}\)是\(X\times Y\)上的积拓扑在\(A\times B\)子空间上的拓扑的一组基。它等于\(\{(W\cap A)\times (R\cap B) \mid W \in \tau_X,R\in \tau_Y\}\)。根据定义，这恰好就是\(\B_{A\times B}\)。基相同，生成的拓扑也相同。证毕。

以下关于子空间的序拓扑的结论却与期望不相符：设\(X\)是全序集，\(X\)的子集\(Y\)继承\(X\)上的序关系，\(X\)上的序拓扑为\(\tau_X\)，\(Y\)上的序拓扑为\(\tau_Y\)，我们发现\(\tau_Y\)不一定等于\(\tau_X\)在子空间\(Y\)上的拓扑。反例：设\(X\)是实数集\(\R\)，\(Y=[0,1)\cup \{2\}\)。我们有\((3/2,5/2)\in \tau_X\)，因此\((3/2,5/2)\cap Y=\{2\}\)属于\(X\)在子空间\(Y\)上的拓扑。然而，\(\{2\}\notin \tau_Y\)，因为任何一个包含\(Y\)中最大元素的区间都一定包含了某个\([0,1)\)中的元素。

在上面的反例中，集合\(Y\)没有足够良好的性质使得期望的结论成立。如果我们加强条件不允许\(\{2\}\)这样的单点集出现，就可以证明我们想要的结论。对于全序集\(X\)的子集\(Y\)，如果\(\forall a,b\in Y,(a<b)\to (\{x\mid a<x<b\}\subseteq Y)\)，就称\(Y\)是一个凸集(convex set)。设\(X\)上的序拓扑为\(\tau_X\)，\(Y\)上的序拓扑为\(\tau_Y\)，此时可以证明\(\tau_Y\)等于\(\tau_X\)在子空间\(Y\)上的拓扑：不妨设\(X,Y\)都没有最大最小元素，因为有最大最小元素的证明是类似的，这样避免了繁琐的讨论。左包含右：\(\tau_Y\)中\(Y\)上所有开区间生成的拓扑，因此任意\(U \in \tau_Y\)都可以写作若干\(Y\)上开区间的并集，而\(Y\)上开区间也是\(X\)上开区间，因此\(U\)可以写作若干\(\tau_X\)的基元素的并集，也即\(U\in\tau_X\)，所以\(U\in \{V\cap Y\mid V\in \tau_X\}\)；右包含左：对于任意\(U\in \tau_X\)，我们要证明\(U\cap Y \in \tau_Y\)。\(U\)是若干\(X\)上开区间的并集，其中的每个开区间对\(Y\)取交都是\(Y\)上的开区间，这些区间并起来会得到\(U\cap Y\)。而\(Y\)上开区间都是\(\tau_Y\)中元素，因此\(U\cap Y\)也是\(\tau_Y\)中元素。证毕。