量子力学02 全同粒子

粒子对撞实验\(\newcommand{\l}{\lang}\newcommand{\r}{\rang}\)

我们讨论将两个粒子对撞的实验，这里对撞只涉及静电斥力。对撞后，粒子将以某一随机角度\(\theta\)散射。我们首先选取氦原子核(\(\alpha\)-粒子)与氧原子核对撞，选择两核的质心作为参考系。装置会在某一偏转角度上放置探测器，探测是否捕获到粒子，这样就测出了各个角度的散射的分布。为什么粒子会以随机角度散射呢？在经典力学中，对心碰撞的粒子一定会沿原直线反弹；但是在量子力学中，根据不确定性原理，由于粒子发射时的位置相对精确，因此其动量（运动方向）具有不确定性，因此在捕获到散射的粒子时呈现随机的偏转角。

设\(f(\theta)\)是“氦原子核偏转角度为\(\theta\)”这一事件的概率振幅。假设我们安装探测氦原子核的探测器，那么就可以得到在\(\theta\)处检测到氦原子的概率为\(|f(\theta)|^2\)。假设我们安装探测氦原子核或氧原子核的探测器（也即只要有粒子探测器就有反应），那么“在\(\theta\)处探测到原子”这一事件的概率应当是\(|f(\theta)|^2+|f(\pi-\theta)|^2\)，因为当氦原子核的偏转角度为\(\pi-\theta\)时，氧原子核会被同一位置的探测器探测到。实验结果确实如此，所以我们看到，“探测器接收到氦原子核”和“探测器接收到氧原子核”这两个事件是可区分的，因为从实验结果上来看，没有发生概率振幅的叠加而是发生了概率的叠加。

然而，当氦原子核与另一个的氦原子核对撞时，结果发生了变化。实验结果表明，此时氦原子核探测器在角度\(\theta\)探测到氦原子核的概率变为\(|f(\theta)+f(\pi-\theta)|^2\)。我们意识到，此时发生了概率幅的叠加。

人们发现有一种简单的方法可以解释这一现象：任何两个氦原子核其实是全同的(identical)，当探测器接收到一个氦原子核时，它没有任何办法区分这是轰击还是被轰击的氦原子核——“无法区分全同粒子”也是量子力学第二条基本原理中“无法区分的事件”。

然而，人们发现了更奇怪的事。当我们用两个全同的电子（之所以强调“全同”，是因为电子还有自旋的属性，电子的自旋共有两种，自旋不同的电子是可以区分的，自旋相同的电子是不可区分的）对撞时，设\(f(\theta)\)是“电子偏转角度为\(\theta\)”这一事件的概率振幅，实验测得“在角度\(\theta\)探测到电子的概率”为\(|f(\theta)-f(\pi-\theta)|^2\)。

如何解释这种概率幅相减的干涉呢？其实，这是由于我们在思考时犯了错误。当我们用电子\(a\)轰击电子\(b\)时，我们首先假设\(f(\theta)\)是“\(a\)偏转角度为\(\theta\)”这一事件的概率振幅，这当然没有问题。那么，“\(a\)偏转角度为\(\pi-\theta\)”这一事件的概率振幅为\(f(\pi-\theta)\)，这也没有问题。但是，“\(a\)偏转角度为\(\pi-\theta\)”和“\(b\)偏转角度为\(\theta\)”这两个事件并不一定有相同的概率幅，尽管这两个事件的概率相等。我们只知道“\(b\)偏转角度为\(\theta\)”的概率幅的模长平方为\(|f(\pi-\theta)^2|\)，这意味着“\(b\)偏转角度为\(\theta\)”的概率幅可能是任意\(e^{i\delta}f(\pi-\theta)\)。

所以，在全同粒子对撞时，我们在\(\theta\)处探测到原子的概率实际应当是\(|f(\theta)+e^{i\delta}f(\pi-\theta)|^2\)。那么，\(\delta\)的取值是任意的吗？我们可以进一步推理\(\delta\)需要满足的必要条件：如果我们交换一下两个粒子的角色，那么第一个粒子的概率幅函数变为\(e^{i\delta}f(\pi-\theta)\)，而根据系统的对称性，第二个粒子的概率幅函数相对于第一个粒子的概率幅函数，所乘的相位因子没有理由有所不同。所以对换后，概率表示为到\(|e^{i\delta}f(\pi-\theta)+e^{2i\delta}f(\theta)|^2\)。而粒子是全同的，所以这两个概率函数不应该有任何区别，也即对于任意\(\theta\)，应当成立\(|f(\theta)+e^{i\delta}f(\pi-\theta)|^2=|e^{i\delta}f(\pi-\theta)+e^{2i\delta}f(\theta)|^2\)。也即\(|f(\theta)+e^{i\delta}f(\pi-\theta)|^2=|e^{i\delta}|^2|f(\pi-\theta)+e^{i\delta}f(\theta)|^2\)，所以\(|e^{i\delta}|^2=1\)，也即\(e^{i\delta}=1\)或\(e^{i\delta}=-1\)。

玻色子与费米子

所以我们推出全同粒子对撞时，唯一可能的两种结果：\(|f(\theta)+f(\pi-\theta)|^2\)或\(|f(\theta)-f(\pi-\theta)|^2\)。现在，这两种结果都已经被观测到了：氦原子核的对撞属于前一种结果，（全同）电子的对撞属于后一种结果。实验表明，全同粒子对撞时究竟采用哪一种方式发生干涉只与粒子的种类有关。以前一种方式干涉的粒子称为玻色子(Bose particles)，玻色子有光子、介子、引力子等；以后一种方式干涉的粒子称为费米子(Fermi particles)，费米子有电子、质子、中子、\(\mu\)子、中微子、重子等。

复合粒子的行为

玻色子和费米子的区分只对基本粒子进行了定义。那么像氦原子核这样的复合粒子，如何确定它表现得像玻色子还是费米子呢？

一般而言，原子核完成某行为的概率幅可以近似为其内部的费米子（质子、中子）各自独立完成该行为的概率幅的乘积。一个氦原子核包含两个中子和两个质子，也即有四个费米子。现在，假设在散射过程中氦原子核可能会有一个费米子和另一个氦原子核中的费米子交换，那么接收器将可能接收到两种可能事件， 这两个事件不可区分，因此计算概率时需要把概率幅叠加。对于可能发生交换的那个费米子而言，两种可能事件的概率幅干涉的相位因子为\(-1\)（因为它是费米子！），而对于其它不交换的费米子而言，两种可能情况下的概率幅相等（是同一个事件）。所以总体上两事件干涉的相位因子为\(-1\)。

类似地，如果要么不交换，要么交换两个费米子，则“交换”这一事件下有两个费米子的概率幅因子要乘相位因子\(-1\)，所以总体上两事件干涉的相位因子是\(1\)。

所以，如果我们假设没有核反应发生，那么氦原子核要么不交换，要么交换4个费米子（总体交换）。交换4个费米子的相位因子为\((-1)^4=1\)。这就是为什么氦原子表现出玻色子的行为。

由此可见，在复合粒子可以看作一个整体的时候，复合粒子的行为像玻色子还是费米子取决于其中包含的费米子个数的奇偶性。

玻色子的状态\(\newcommand{\d}{\text{ d}}\)

我们考虑两个玻色子在另外两个粒子上散射，这里我们不考虑散射的细节，只考虑被散射粒子发生的变化。被散射后粒子的方向、能量等称为散射后进入的“状态(state)”。

假设两个玻色子\(a,b\)不相同，第一个散射后进入状态1，这个概率幅为\(a_1=\l 1\mid a\r\)；第二个进入状态2，这个概率幅为\(b_2=\l 2 \mid b \r\)。我们无法讨论到达空间某个特定点的概率，只能讨论到达某个单位面积的概率。因此\(a\)被散射到1方向上单位面积的概率为\(|a_1|^2\d S_1\)，\(b\)被散射到2方向上单位面积的概率为\(|b_2|^2\d S_2\)。由于这两个事件独立，两事件同时发生的概率为\(|a_1|^2|b_2|^2 \d S_1\d S_2\)。现在假设我们有两个探测器，一个探测状态1，一个探测状态2。假设计数器探测的面积为\(\Delta S\)。那么两个探测器都分别探测到玻色子的概率应当是\(P=\displaystyle\int_{\Delta S}|a_1|^2|b_2|^2\d S_1\d S_2\)，因为玻色子不同所以原则上可区别所以不发生干涉。

假设两个玻色子全同，那么两个探测器分别探测到某个玻色子的概率变为\(P'=\displaystyle\int_{\Delta S}|a_1b_2+a_2b_1|^2\d S_1\d S_2\)，因为此时不能分辨是\(a\)进入了状态1还是\(b\)进入了状态1，所以发生干涉。

假设状态1和状态2逐渐靠近，那么最终会趋向\(a_1=a_2=a,b_1=b_2=b\)。设探测器足够小，那么积分可以化为乘积。于是\(P=\displaystyle\int_{\Delta S}|ab|^2\d S_1\d S_2\to|a|^2|b|^2(\Delta S)^2\)。\(P'=\displaystyle\int_{\Delta S}|2ab|^2\d S_1\d S_2\to4|a|^2|b|^2(\Delta S)^2\cdot \dfrac{1}{2}=2|a|^2|b|^2(\Delta S)^2\)。这里要乘\(1/2\)是因为在计算\(P\)时，\(\d S_1\)和\(\d S_2\)都要各自取遍整个\(\Delta S\)；而在计算\(P'\)时，\(\d S_1\)和\(\d S_2\)已经没有任何分别了，所以必须成对计算，排除冗余的一半。

于是我们发现，玻色子全同时被探测器探测到的概率变为了原来的两倍！我们这样来理解这一结果：玻色子具有这样的特性，当已有某一玻色子位于某一状态时，此时再出现一个玻色子加入此状态的概率会比把它当作独立事件计算时所预期的两倍。“位于某一状态”可以是：被散射到了某一特定方向；到达某一特定面积微元；等等。从概率幅的角度看，如果已有一个玻色子处于一个给定状态，那么另一全同玻色子进入同一状态的概率幅会变为第一个粒子不在时的\(\sqrt{2}\)倍。

把这一结果推广到\(n\)个玻色子的情况。当它们互不相同时，所有粒子都被探测器探测到的概率为\(|a_1|^2|a_2|^2\cdots |a_n|^2 \d S_1\cdots \d S_n\)，积分得到\(|a_1|^2|a_2|^2\cdots |a_n|^2 (\Delta S)^n\)。而所有粒子全同时，概率为\(|n!a_1a_2\cdots a_n|^2\d S_1\cdots \d S_n\)，积分时要除去重复计算的\(n!\)，得到\(n!|a_1|^2|a_2|^2\cdots |a_n|^2(\Delta S)^n\)。概率扩大了\(n!\)倍。这意味着假如已经有\(n\)个全同的玻色子进入了某个特定状态，那么第\(n+1\)个相同的玻色子进入这个状态的概率就会增强\(n+1\)倍。

所以我们说，玻色子倾向于让所有粒子进入同一状态。例如光子是玻色子，那么把光子“发射到某个特定状态”也满足这样的规律：如果在某一特定状态中已经有了\(n\)个光子，那么原子再发射一个光子到达这个状态的概率就会增大\(n+1\)倍。光子具有使所有的粒子都进入同一状态的倾向。氦原子是玻色子，在低温下热运动变得非常小，此时液氦中的原子有极强的进入同样状态的倾向，因此只要发生流动，所有原子都要以相同的方式运动。这种运动有一种刚性，使得液氦表现出“干水”的效应，这正是玻色子的效应。

费米子的状态(泡利不相容原理)

费米子的行为与玻色子完全相反。考虑两个费米子\(a,b\)在另外两个粒子上散射的实验。由于费米子以概率幅相减的方式干涉，两个全同费米子被散射到状态1和状态2的振幅应当为\(\l 1\mid a \r\l 2\mid b \r - \l 2 \mid a \r \l 1 \mid b \r\)。当\(\l 1\mid a \r,\l 2 \mid a \r\)充分接近、\(\l 1\mid b \r,\l 2 \mid b \r\)充分接近时，这个振幅趋向0。振幅趋向0，概率也就趋向0。也就是说，全同费米子几乎不可能进入相同状态，这就是泡利不相容原理。

当我们说“状态”时，也包括了费米子的自旋。所以，两个自旋方向相同的费米子不可能处于同一位置上。如果两个费米子——电子、质子或中子——处于同一位置上，那么唯一的可能是它们具有相反的自旋。元素周期表中外层电子的排布就是泡利不相容原理的直接结果：在最靠近原子核的地方最多只能容纳两个电子，这两个电子有相反方向的自旋。第三个电子不可能处于这两个电子附近，因此它被迫处于一个更外侧的“轨道”。

泡利不相容原理对大尺度物体的稳定性起着重要的作用，由于没有两个以上的电子能够处于同一位置，原子之间必须保持一定的距离，因此大尺度物体不至于塌缩；两个具有相反方向自旋的电子能够彼此接近，由此产生稳定的化学键，因为这样的电子对一旦产生就不容许其它电子加入；当两个电子接近时会产生一个表观上的巨大的力迫使自旋方向相反，这引起了铁磁体中强烈的排列力；核力对自旋方向比较敏感，自旋相同时核力比自旋相反时更大，一个中子与一个质子间可以在同一位置有相同方向的自旋（因为它们两个不同的粒子，不会不相容），由此形成氘；而两个质子不能有相同方向的自旋，此时核力不足以形成束缚态，所以只有两个质子没有中子的氦原子不存在。