λ-calculus与可计算性

\(\newcommand{\l}{\lambda}\)图灵证明了图灵机可计算的函数等价于由\(\lambda\)-calculus定义的可计算函数。\(\lambda\)-calculus定义的可计算函数就是能用\(\l\)-term表示的函数（从自然数到自然数的映射）。在\(\l\)-calculus中，“计算”是通过term的rewrite来完成的，因此函数的计算往往意味着符号串的“递归”。我们将会定义递归函数(recursive functions)的概念，并证明满足该定义的函数等价于能用\(\l\)-term表示。

数学的\(\l\)-calculus表示

逻辑的表示(Logic)

\(\newcommand{\true}{\textsf{true}}\newcommand{false}{\textsf{false}}\)我们可以用\(\l\)-term表示逻辑真和逻辑假。我们可以用combinator \(\textsf{K}\equiv \l xy.x\)表示逻辑真，\(\textsf{K}_\ast \equiv \l xy.y\)表示逻辑假。记\(\textsf{K}\equiv \textsf{true},\textsf{K}_\ast\equiv \textsf{false}\)。把\(\l\)-term的集合\(\{\textsf{true},\textsf{false}\}\)称为布尔式(Boolean)，那么假设一个\(\l\)-term \(B\)可以演算得到一个布尔式（\(B=\textsf{true}\)或\(B=\false\)），那么对于任意的\(P,Q\in \Lambda\)，\(BPQ\)就可以用来表示一个“if语句”：if B then P else Q。

自然数的表示(Numerals)

利用布尔值，我们可以表示有序对(ordered pair)。对于\(M,N\in\Lambda\)，\((\l z.(zMN) )\true\)\(=\true MN=M\)，\((\l z.(zMN) )\false\)\(=\false MN=N\)。我们把\(\l z.(zMN)\)记为\([M,N]\)，于是得到\([M,N]\true=M,[M,N]\false=N\)。

\(\newcommand{\num}[1]{\lceil #1 \rceil}\)利用有序对，我们可以表示自然数。首先，用\(\l x.x\)表示\(0\)，记为\(\num 0\)；假设\(n\)表示为\(\num n\)，那么\(\num{n+1}\)可以表示为\([\false,\num n]\)。

在这样的表示下，我们可以找到一个combinator用来表示自然数的后继(successor)：令\(\textsf{S}^+ \equiv \l x.[\false,x]\)，我们有\(\textsf{S}^+ \num n=(\l x.[\false ,x])\num n\)\(= [\false,\num n] = \num {n+1}\)。

我们可以找到一个combinator用来表示前驱(predecessor)：令\(\textsf{P}^-\equiv\l x.(x\ \false)\)，我们有\(\textsf{P}^-\num{n+1}\equiv\)\((\l x.(x \ \false))[\false,\num n]=[\false,\num n]\false = \num n\)。

还可以找到一个combinator用来判断一个数是否是\(0\)：只需令\(\textsf{Zero}\equiv \l x.(x \ \true)\)，我们有\(\textsf{Zero}\num 0 \equiv (\l x.(x \ \true))(\l x.x)=(\l x.x)\true=\true\)，有\(\textsf{Zero}\num{n+1}\equiv(\l x.(x \ \true))[\false,\num n]=[\false,\num n]\true=\false\)。

数值函数的表示(Numeric Functions)

自然数的\(p\)元函数\(\N^p\to \N\)称为一个\(p\)-数值函数。对于一个\(p\)-数值函数，如果能找到一个combinator \(F\)满足：对于任意的\(n_1,\cdots,c_p\in\N\)，都有\(\num{\varphi(n_1,\cdots,n_p)} = F\num{n_1}\cdots \num{n_p}\)，就称\(\varphi\)是\(\lambda\)-definable的（具体地，也称\(\l\)-defined by \(F\)）。

递归函数(Recursive Functions)

我们已经看到，\(S^+(n)=n+1\)可以由\(\textsf{S}^+\)定义，\(Z(n)=0\)可以由\(\l x.\num 0\)定义。函数\(U_i^n(x_1,\cdots,x_n)=x_i\)很容易由有序对的combinator来定义。以上三个数值函数\(U_i^n,S^+,Z\)称为initial functions(初始函数)。Initial functions都是\(\lambda\)-definable的。

\(\newcommand{\A}{\mathcal{A}}\)对于一个数值函数的集合\(\mathcal{A}\)，如果\(\mathcal{A}\)满足：\(\forall p,m\)，对任意的\(\mathcal{A}\)中的\(p\)-数值函数\(\psi_1,\cdots,\psi_m\)，以及\(\A\)中的\(m\)-数值函数\(\chi\)，复合函数\(\chi(\psi_1(n_1,\cdots,n_p),\cdots,\psi_m(n_1,\cdots,n_p))\)也是\(\A\)中的一个\(p\)-数值函数，就称集合\(\A\)对复合封闭(closed under composition)。

\(\newcommand{\A}{\mathcal{A}}\)对于一个数值函数的集合\(\mathcal{A}\)，如果\(\mathcal{A}\)满足：\(\forall p\)，对任意的\(\mathcal{A}\)中的\(p\)-数值函数\(\chi\)，以及\(\A\)中的\(p+2\)-数值函数\(\psi\)，定义\(p+1\)-数值函数\(\varphi\)：\(\varphi(0,n_1,\cdots,n_p)\)\(=\chi(n_1,\cdots,n_p)\)，\(\varphi(k+1,n_1,\cdots,c_p)\)\(=\psi(\varphi(k,n_1,\cdots,n_p),k,n_1,\cdots,n_p)\)，始终有\(\varphi \in \A\)，就称集合\(\A\)对原始递归封闭(closed under primitive recursion)。

对于一个数值函数的集合\(\mathcal{A}\)，如果\(\mathcal{A}\)满足：\(\forall p\)，对任意的\(\mathcal{A}\)中的\(p+1\)-数值函数\(\chi\)，其中\(\chi\)满足对任意的\(n_1,\cdots,n_p\in \N\)，存在\(m\)使得\(\chi(n_1,\cdots,n_p,m)=0\)，定义\(p\)-数值函数\(\varphi\)：\(\varphi(n_1,\cdots,n_p)\)的值为使得\(\chi(n_1,\cdots,n_p,m)=0\)的最小\(m\)，若始终有\(\varphi \in \A\)，就称集合\(\A\)对取最小值封闭(closed under minimalization)。

\(\newcommand{\R}{\mathcal{R}}\)定义数值函数集合\(\R\)，它是包含所有初始函数并且满足对复合、原始递归、取最小值封闭的最小集合。\(\R\)称为递归函数类，称\(\R\)中的函数为递归函数(recursive function)。

\(\l\)-definable函数与递归函数的等价性

我们已经证明，初始函数都是\(\l\)-definable的。如果我们能够证明，全体\(\l\)-definable的函数集合（记为\(\Lambda_F\)）满足对复合、原始递归、取最小值封闭，就说明\(\R\subseteq \Lambda_F\)，也即递归函数一定是\(\l\)-definable的。下面我们就分别证明，\(\Lambda_F\)对复合、原始递归、取最小值封闭。

下面证明\(\Lambda_F\)对复合封闭。即证\(\forall p,m\)，对任意的\(\Lambda_F\)中的\(p\)-数值函数\(\psi_1,\cdots,\psi_m\)，以及\(\Lambda_F\)中的\(m\)-数值函数\(\chi\)，复合函数\(\chi(\psi_1(n_1,\cdots,n_p),\cdots,\psi_m(n_1,\cdots,n_p))\)是\(\l\)-definable的。设\(\psi_1,\cdots,\psi_m\)分别由combinator \(H_1,\cdots,H_m\)定义，\(\chi\)由combinator \(G\)定义，那么可以写出combinator \(F\equiv \lambda x_1\cdots x_m.(G(H_1x_1\cdots x_n)\)\(\cdots (H_mx_1\cdots x_m))\)，可见该复合函数能被\(F\)定义。因此\(\Lambda_F\)对复合封闭。

下面证明\(\Lambda_F\)对原始递归封闭。即证\(\forall p\)，对任意的\(\Lambda_F\)中的\(p\)-数值函数\(\chi\)，以及\(\Lambda_F\)中的\(p+2\)-数值函数\(\psi\)，\(p+1\)-数值函数\(\varphi\)：\(\varphi(0,n_1,\cdots,n_p)\)\(=\chi(n_1,\cdots,n_p)\)，\(\varphi(k+1,n_1,\cdots,c_p)\)\(=\psi(\varphi(k,n_1,\cdots,n_p),k,n_1,\cdots,n_p)\)是\(\l\)-definable的。设\(\psi\)由combinator \(H\)定义，\(\chi\)由combinator \(G\)定义，现在我们要构造一个combinator \(F\)来定义\(\varphi\)。对于\(\varphi\)这样的分段函数，需要用逻辑条件的\(\l\)表示。我们希望\(Fxy_1\cdots y_p= (\textsf{Zero } x)(Gy_1\cdots y_p)(H(F(\textsf{P}^- x)y_1\cdots y_p)(\textsf{P}^- x)y_1\cdots y_p)\)，其中\(\textsf{Zero }x\)是一个布尔变量，如果为真（此时\(x\equiv \num 0\)）就会取前项\(Gy_1\cdots y_p\)，如果为假（\(x\not\equiv \num 0\)）就会取后项\(H(F(\textsf{P}^- x)y_1\cdots y_p)(\textsf{P}^- x)y_1\cdots y_p\)。我们注意到，正因为\(\varphi\)是递归定义的，所以我们写出的式子左右都包含\(F\)。所以刚才写出的式子不能作为\(F\)的构造式，而是一个\(F\)的“方程式”。把右边部分的式子\((\textsf{Zero } x)(Gy_1\cdots y_p)(H(F(\textsf{P}^- x)y_1\cdots y_p)(\textsf{P}^- x)y_1\cdots y_p)\)记为\(D(F,x,y_1,\cdots,y_p)\)，该方程写作\(F=\lambda xy_1\cdots y_p.(D(F,x,y_1,\cdots,y_p))\)。这等价于\(F=\lambda fxy_1\cdots y_p.(D(f,x,y_1,\cdots,y_p))F\)。把\(\lambda fxy_1\cdots y_p.(D(f,x,y_1,\cdots,y_p))\)记为\(M\)，我们也就是要找到满足\(F=MF\)的\(F\)。令\(F\equiv (\l z.M(zz))(\l z.M(zz))\)，可以验证\(F=(\l z.M(zz))(\l z.M(zz))=M((\l z.M(zz))(\l z.M(zz)))=MF\)。（类比代数中\(x=f(x)\)的解称为不动点，这可以看作求\(\l\)表达式的不动点。从上述构造可以看出，对任意的\(M\)都可以写出对应的\(F\)满足\(MF=F\)。这一结果称为不动点定理(Fixed Point Theorem)）。因此\(\Lambda_F\)对原始递归封闭。

下面证明\(\Lambda_F\)对取最小值封闭。即证\(\forall p\)，对任意的\(\Lambda_F\)中的\(p+1\)-数值函数\(\chi\)，记\(\mu m[\chi(n_1,\cdots,n_p,m)=0]\)表示满足\(\chi(n_1,\cdots,n_p,m)=0\)的最小\(m\)，\(p\)-数值函数\(\varphi(n_1,\cdots,n_p)=\mu m[\chi(n_1,\cdots,n_p,m)=0]\)是\(\l\)-definable的。设\(\chi\)由combinator \(G\)定义。我们可以这样定义用来表示\(\varphi\)的combinator \(F\)：首先定义一个combinator \(H\)，对于\(Hx_1\cdots x_p y\)，判断是否成立\(Gx_1\cdots x_py\)为\(\num 0\)，如果成立返回\(y\)，否则返回\(Hx_1\cdots x_p(\textsf{S}^+ y)\)。这样，\(Hx_1\cdots x_p\num 0\)就会返回最小的使得\(Gx_1\cdots x_py\)为\(\num 0\)的\(y\)。用逻辑条件容易写出：\(Hx_1\cdots x_py=(\textsf{Zero}(Gx_1\cdots x_p y))\)\((y)(Hx_1\cdots x_p(\textsf{S}^+ y))\)。很容易想到，我们要再次用到不动点定理。令\(E(H,x_1,\cdots,x_p,y))\equiv (\textsf{Zero}(Gx_1\cdots x_p y))\)\((y)(Hx_1\cdots x_p(\textsf{S}^+ y))\)，那么\(H = (\l hx_1\cdots x_p y.E(h,x_1,\cdots,x_p,y))H\)，由不动点定理可以解出\(H\)。于是，令\(F\equiv \l x_1\cdots x_p.(Hx_1\cdots x_p\num 0)\)，容易验证\(F\)定义了\(\varphi\)。因此\(\Lambda_F\)对取最小值封闭。

还可以证明，\(\Lambda_F\subseteq \R\)（用\(\l\)-term的哥德尔编码证明，此处省略）。这样我们最终得到了\(\Lambda_F=\R\)，也即\(\forall \varphi\)，\(\varphi\)是\(\lambda\)-definable的当且仅当\(\varphi\in \R\)。