[洛谷P1650] 田忌赛马

贪心难题；总结贪心问题的一般思路

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题意

田忌和齐王各有n匹马，赛马时一一对应。赢+200，输-200，平+0. 问最多多少钱？

数据范围：$n \leq 2000$

Solution

如果没有平局

将齐王和田忌的马都按照速度从大到小排序。然后同时从两方最大的开始考虑。

设齐王当前最大的马为x，最小的为y；田忌最大的为a，最小的为b；

若x>a，说明x大于任何田忌的马。此时应当使用b去碰x。证明：如果不使用b，而使用比b更大的马，设为c，去碰x能达到最优解。用c也输，用b也输，用b去反而留出更大的c去赢别的。故使用b也可以达到最优解。

若x<a，此时应当让a去赢x。证明：如果不使用a，而使用比a更小的马去碰x能达到最优解。那么a肯定碰了个更弱的。若交换必定不会造成损失。故使用a也可以达到最优解。

决定了这一步，之后就是子问题了。一个模子去解决即可。

有平局

和刚才一样，只不过多了一类情况。

若x=a，那么暂且不能决定——这是一个僵局。我们希望摆脱这一局面，转化为刚才的形式。去寻找看还有什么能一步决定。

1. y>b，说明b死定了。要死就与齐王最强的同归于尽，证明雷同。

2. y<b，应当让b去赢。证明同x<a的情况。

1能够改变x=a的现状，继续做子问题即可。2的话就继续判断尾巴。

关键问题来了——

3. y=b

此时头相等，尾相等。相当棘手。

我们应当选择令b去碰x。证明：如果b不碰x也能达到最优解。那么意味着

1. 两头都去碰平。那么如果使两头交叉，不会有所损失。

2. 一头碰平。以b碰y为例。设d遇到x，那么d的一定输。（-200）那么交换，使x碰b，d碰y（+0）。故没有损失

3. 两头都不碰平。x碰b更优。

透过题解看本质

贪心问题的一般思路

1. 通过小数据发现规律，猜出贪心策略。

2. 验证最优子结构性质（即能否DP）

贪心可以看做DP的一种特殊情况，只不过每一步不需要考虑所有可能情况，而是直接选择最优的。

3. 验证贪心选择性。一般使用反证法。

有点像数学归纳法。即证出该策略能够达到最优解。设...能达到最优解，改用该策略不会有损失，故能达到最优解。

在第一步能够用这种方法达到最优解，然后解子问题。子问题中第一步能达到子问题最优解，然后解子问题的子问题……故最终得到最优解。

利用常识

这道题中，利用了田忌赛马的常识帮助我们寻找策略。“赢多少不重要，只要赢就好”这一思想使我们想到了赢的不浪费。

子问题

在贪心里，利用子问题去思考依然很重要。

my code

注意x碰b的时候要考虑平局。

/*By DennyQi 2018*/
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN = 10010;
const int MAXM = 20010;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
inline int Max(const int a, const int b){ return (a > b) ? a : b; }
inline int Min(const int a, const int b){ return (a < b) ? a : b; }
inline int read(){
    int x = 0; int w = 1; register char c = getchar();
    for(; c ^ '-' && (c < '0' || c > '9'); c = getchar());
    if(c == '-') w = -1, c = getchar();
    for(; c >= '0' && c <= '9'; c = getchar()) x = (x<<3) + (x<<1) + c - '0'; return x * w;
}
int n,a[2001],b[2001];
int Win(int h1, int t1, int h2, int t2){
    if(h1 == t1){
        if(a[h1] == b[h2]) return 0;
        if(a[h1] > b[h2]) return 200;
        if(a[h1] < b[h2]) return -200;
    }
    if(a[t1] > b[t2]) return Win(h1,t1-1,h2,t2-1)+200;
    if(a[t1] < b[t2]) return Win(h1+1,t1,h2,t2-1)-200;
    if(a[h1] > b[h2]) return Win(h1+1,t1,h2+1,t2)+200;
    if(a[h1] < b[h2]) return Win(h1+1,t1,h2,t2-1)-200;
    return Win(h1+1,t1,h2,t2-1)-200*(a[h1]!=b[t2]);
}
int main(){
    n = read();
    for(int i = 1; i <= n; ++i) a[i] = read();
    for(int i = 1; i <= n; ++i) b[i] = read();
    sort(a+1,a+n+1);
    sort(b+1,b+n+1);
    printf("%d", Win(1,n,1,n));
    return 0;
}