摘要：本文详细证明哥德尔第一不完全性定理和第二不完全性定理。为了更精确地描述形式证明，首先引入寄存器机模型，定义可枚举性和可判定性。定义停机问题，并证明停机问题不可判定。接下来证明一阶逻辑永真式和可满足式的不可判定性。然后证明自然数算术的不可判定性，完成第一不完全性定理的证明。最后定义允许表示，用构造自指命题的方法给出一个不可证的自然数算术真命题，完成第二不完全性定理的证明，并说明如何把哥德尔不完全性定理推广到一般数学上。 阅读全文

摘要：本文首先引入紧性定理和勒文海姆斯科伦定理作为一阶逻辑表达能力研究的重要工具。然后定义初等类和初等等价，证明任何无穷模型都有与之初等等价但不同构的模型，称为非标准模型。以自然数算数为例， 我们证明存在可数无穷大的自然数算数的非标准模型。接着我们引入二阶逻辑，证明用二阶逻辑写出的皮亚诺公理能把自然数算数模型刻画到同构。而我们又证明二阶逻辑没有完备性，可见逻辑系统的表达能力和完整性是对立的。最后我们讨论数学的根基，引出下一节要讨论的形式化方法的局限性。 阅读全文

摘要：本文证明基于一阶逻辑语言的相继式演算的完备性。首先定义一致性，证明完备性等价于一致性能推出可满足性。接下来，引入term interpretation，证明一致的公式集在满足contain witness与negation complete的前提下是可满足的(Henkin's Theorem)。然后我们移除这两条限制，证明符号集可数时完备性成立。最后证明符号集不可数时完备性也成立，从而完成整个完备性的证明。 阅读全文

摘要：上一节我们已经知道如何通过一阶逻辑语言形式化“数学命题”。现在我们想要形式化“数学证明”的概念。我们首先给出相继式演算的定义，说明如何用相继式演算书写形式化证明。然后我们验证相继式演算的可靠性，说明形式化证明一定是数学事实上可靠的。 阅读全文

摘要：一阶逻辑是形式化描述数学定理与证明的一套形式语言，原则上可以表达当今世界上的所有数学定理。本文定义一阶逻辑要满足的语法规则，定义如何为一阶逻辑语言赋予实际语义，并列举了一些由语法和语义的定义所引发的重要概念和事实。 阅读全文

摘要：命题逻辑是最基本的逻辑系统。本文首先定义命题逻辑的字母表、语法、语义，然后给出永真式、矛盾式、可满足性、语义后承、语义等价的定义，然后证明一系列语义的性质，最后讨论命题逻辑符号的功能完全性。 阅读全文