随笔分类 - 组合数学
摘要：现在我们想用线性代数的方法来研究组合数学问题。 ## 邻接矩阵的特征值 对于任意的无向图$G=(V,E)$（假设不带边权），它可以用邻接矩阵$A_G$来表示。$A_G$是一个对称矩阵，因此它一定有$n$个实数特征值。我们把它们记为$\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdo
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摘要：## 信息熵 不同的话语包含的信息量是不一样的。一句短小的话可能包含着很大的信息量，而一句冗长的话可能只含有一点点信息量。因此我们想知道一句话所包含的信息量，但看它的长度肯定是不对的，而是应该看它以最好的方式被压缩以后长度是多少。 我们把一句话看作一个二进制串，更一般地，一句话应当是一个随机生成的二
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摘要：## 洛瓦兹局部引理(Lovász Local Lemma, LLL) 给定一个“坏事件”的集合$\mathcal{B}=\{B_1,\cdots,B_m\}$，其中$\Pr[B_i]0$。其中$e$是自然对数。 我们之后将会对更一般的情况给出证明，这里我们先来通过例子来进一步LLL在说什么。 如果
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摘要：二阶矩，方差，切比雪夫不等式 我们可以验证如果两个随机变量$X,Y$是独立的，那么一定满足$E[X\cdot Y]=E[X] \cdot E[Y]$。只需根据定义把右侧表示出来，$E[X] \cdot E[Y]$$=\left(\sum\limits_{x}x\Pr[X=x]\right)\left
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摘要：## Tournament的一个上界 我们再来看一个类似Ramsey Number的例子，它同样也体现了当$n$足够大时某个结构一定会出现这一性质。 Tournament Graph是一张有向图$G(V,E)$，其中任何两个点之间都有且仅有一条有向边，其中$x \to y$的有向边表示$x$赢了$y
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摘要：在给定函数$P \to\R$的两个$f,g$（可以看作列数为1的矩阵）满足$f(x)=\sum\limits_{x \leq y}g(y)$时，可以把它转化为$f=\zeta g$，那么就等价于$\zeta^{-1}f=g$，即$g=\mu f$。展开即为$g(x)=\sum\limits_{y}\mu(x,y)f(y)$。由于只有$x \leq y$时关联代数才不为0，因此可以进一步写为$g(x)=\sum\limits_{x \leq y}\mu(x,y)f(y)$。
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摘要：偏序集的定义 我们要讨论偏序集，与它对应的是我们熟悉的“全序集”。比如，实数就是一个全序集，给定任意两个实数$a,b$，那么“$a \leq b$”和“$b \geq a$”中总有一个是成立的，所以这种“序结构是完全的”，任何两个元素都可以“比较大小”。而对于偏序集来说，这却是不一定的。我们定义的一
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摘要：定义与严格化 对于一个数列${a_n}$，我们可以定义一个关于$z$的函数$F(z)=\sum\limits_{n \geq 0}a_nz^n$。这个函数就称为这个数列对应的生成函数。 生成函数实际上并不是数学分析意义中的多项式函数，这里的$z$并不是某个实数或复数，而是一个形式上的数，所对应的级数
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摘要：我们想要求出的是所有性质都不满足的元素，所以满足某条性质就是件“坏事”。所有满足某条性质的元素的集合就是一个“坏集合”。相反，所有性质都不满足的元素就是“好的”。坏集合以及坏集合的交是容易计算的。我们想要通过一种方法把各种坏集合的交集加加减减来求出好集合的大小，这就是容斥原理。
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摘要：本文首先讨论小球装箱问题问题：有$k$个球，装进$n$个箱子里，问有几种方案？分别讨论球是否相同，箱子是否相同，每个箱子至少一个、至多一个、没有限制，共12种不同情况。然后介绍double counting的组合证明方法，证明一系列组合恒等式。
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