随笔分类 - 线性代数
摘要：对称矩阵的谱分解 我们知道实对称矩阵是可对角化的，有 $$ S=Q \Lambda Q^\top $$ 其中$Q$是标准正交矩阵，$\Lambda$是由特征值构成的对角矩阵。设$Q=\begin{bmatrix}v_1 & \cdots & v_n\end{bmatrix}$，就有$S=\left[
阅读全文
摘要：从对偶空间看“矩阵的转置” 从向量空间的角度看“转置”似乎是一件神奇的事，无论从行向量还是从列向量的角度来看，转置的操作都拆散了原先的向量的结构。但转置前后的矩阵在性质上非常相近的。我们希望从线性映射的角度来理解转置。 对偶空间，对偶映射，线性泛函，对偶基的概念 我们知道一个线性映射$T:V \to
阅读全文
摘要：线性映射 定义和性质 设我们有一个从线性空间$V$到线性空间$W$的映射$T$，即$\forall v \in V$有$T(v) \in W$。如果满足$T(v+w)=T(v)+T(w),T(cv)=cT(v)$对任意$v,w \in V,c \in \R$恒成立，就称$T$是一个$V$到$W$的线
阅读全文
摘要：观察上述过程我们发现，关键是我们把某个矩阵$A$“写成了”$X^{-1}\Lambda X$的形式，其中$\Lambda$代表一个对角矩阵。这个过程称为矩阵$A$的对角化。
阅读全文
摘要：三条基本性质 两个向量可以描述平行四边形的面积，三个向量可以描述平行六面体的体积。再往高维推广，$n$个向量可以描述一个“$n$维平行多面体”的“体积”。我们将会看到，这样的“体积”拥有一些性质，我们能从这些性质中推出体积的表达式。对于$n$个$n$维向量，设它的体积为函数$D\left(a_{1}
阅读全文
摘要：正交性 向量、子空间的正交 对于向量\(v,w \in \mathbb{R}^n\)，设\(v=(x_1,\cdots,x_n),w=(y_1,\cdots,y_n)\)，定义他们的内积\(v \cdot w=\sum\limits_{i=1}^{n}x_iy_i\)。 如果有\(v,w\)的内积为
阅读全文
摘要：线性空间的基本性质以及推论 如果一个向量集合对加法数乘封闭，并且满足以下八条性质，那么就可以被称为是一个线性空间。狭义地来看，这里的“向量”都是$\mathbb{R}^n$空间中的。而广义地来看，只要我们对“元素”定义出“加法与数乘”，并且满足以下八条性质，任意这样的集合都可以看作是线性空间。 $\
阅读全文
摘要：矩阵的加法与数乘 对于两个大小相同的矩阵，我们定义加法：由对应元素相加得到的一个新矩阵。对于一个矩阵，我们定义数乘：每个元素都乘上一个常数$c$得到的一个新矩阵。容易验证矩阵的加法和数乘满足下列运算性质： $A+B=B+A$ （加法交换律） $c(A+B)=cA+cB$（数乘分配律） $A+(B+C
阅读全文
摘要：高斯消元 当我们用线性方程组来理解矩阵时，我们有矩阵的高斯消元。本质上，高斯消元只涉及对矩阵的三种“操作”或者“变换”：1)给某一整行乘上非零常数$c$；2)将某一行加到另一行上；3)交换两行。这三种操作统称“初等行变换”。高斯消元的每一步操作都是这三种操作中的一种或者这三种的某一些的反复组合。 高
阅读全文
浙公网安备 33010602011771号